参考[1]
设 $X,Y$ 是两个概形。设 $f:U \to X, g:V\to Y$ 是定义在 $X$ 上两个稠密开集 $U,V$ 上的态射。我们称 $f$ 和 $g$ 等价，如果存在一个 $X$ 的稠密开集 $W \subset U\cap V$ 使得 $f|_W = g|_W$。这样的等价类我们称为从 $X$ 到 $Y$ 的有理映射。
设 $X,Y$ 是基概形 $S$ 上的两个概形。设 $U$ 是 $X$ 的稠密开集，那么 $S$-态射
的等价类称为 $S$-有理映射。
的等价类称为 $S$-有理映射。
从概形 $X$ 到 $\bbA_\bbZ^1$ 的有理映射$$f: X \to \bbA_\bbZ^1$$称为有理函数。$X$ 上的所有有理函数构成一个环，记为 $R(X)$. 如果它构成一个域，那么称为有理函数域， 记为 $K(X)$.
设 $X$ 是一个不可约概形, $\eta$ 是 $X$ 的一般点，那么 $R(X) =\calO_{X,\eta}$.
因为 $R(X) = \varinjlim_{\varnothing \neq U \subset X} \calO_{X,U}$(根据定义)。这个余极限正好就是 $\calO_{X,\eta}$.
设 $X$ 是一个具有有限多个不可约分支 $X_1, \dots, X_n$ 的概形。如果 $\eta_i \in X_i$ 是一般点 (generic point)，那么$$R(X) = \mathcal{O}_{X, \eta_1} \times \dots \times \mathcal{O}_{X, \eta_n}$$如果 $X$ 是既约的 (reduced)，则这等于 $\prod \kappa(\eta_i)$。如果 $X$ 是整的 (integral)，那么 $R(X) = \mathcal{O}_{X, \eta} = \kappa(\eta)$ 是一个域。
设 $U \subset X$ 是一个稠密开子集。那么 $U_i = (U \cap X_i) \setminus (\bigcup_{j \neq i} X_j)$ 是非空开集，因为它包含 $\eta_i$（包含在 $X_i$ 中），并且 $\bigcup U_i \subset U \subset X$ 是稠密的。因此，引理中的等同关系来自于以下一连串的等式：$$\begin{aligned} R(X) &= \text{colim}_{U \subset X \text{ open dense}} \text{Mor}(U, \mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}}) \\ &= \text{colim}_{U \subset X \text{ open dense}} \mathcal{O}_X(U) \\ &= \text{colim}_{\eta_i \in U_i \subset X \text{ open}} \prod \mathcal{O}_X(U_i) \\ &= \prod \text{colim}_{\eta_i \in U_i \subset X \text{ open}} \mathcal{O}_X(U_i) \\ &= \prod \mathcal{O}_{X, \eta_i} \end{aligned}$$