设 $\varphi:V \to W$ 是从一个正规簇 $V$ 到一个完备簇 $W$ 的有理映射，那么 $\varphi$ 定义在 $V$ 上一个开集 $U$ 上，并且 $V\backslash U$ 具有余维数 $\ge 2$.
设 $\varphi: V \dashrightarrow A$ 是从非奇异簇到群簇的有理映射。那么 $\varphi$ 定义在 $V$ 上或者定义在开集 $U\subset V$ 满足 $V\backslash U$ 的余维数为 $1$( $V\backslash U$ 是除子的有限并).
从非奇异簇到 Abel 簇的有理映射 $\alpha: V \dashrightarrow A$ 定义在整个 $V$ 上，也就是是正则映射。
考虑态射 $\alpha: V \times W \to A$, $V,W$ 是两个非奇异簇，$A$ 是 Abel 簇, 并且假 设 $V \times W$ 是几何不可约的。如果存在点 $v_0 \in V, w_0 \in W, a_0 \in A$, 使得 $$\alpha(\{v_0\} \times W ) = \{a_0\}, \alpha(V \times \{w_0\}) = \{a_0\},$$ 那么 $\alpha(V \times W) = \{a_0\}$.
当 $V$ 是完备的，这就是群簇里讲得刚性定理。
从群簇到 Abel 簇的有理映射 $\alpha: G \dashrightarrow A$ 是同态和平移的复合。
参考群簇里的证明就好了。利用平移，不妨设 $\alpha(0) =0$ . 假设 $T: G \times G \to A$ 为 $T(x,y) = \alpha(x+y) – \alpha(x) – \alpha(y)$, 接着用刚性定理。
如果两个 Abel 簇是双有理等价的，那么它们作为 Abel 簇是同构的。
因为非奇异簇到 Abel 簇上的有理映射都是正则映射。这也就是显然的了。
有理映射 $\mathbb{A}^1 \dashrightarrow A$ 和 $\bbP^1 \dashrightarrow A$ 都是常值映射。
利用推论 , $\mathbb{A}^1 \dashrightarrow A$ 是一个同态加平移，那么 $\mathbb{A}^1\backslash \{0\} \dashrightarrow A$ 也是一个同态加平移，故为常值映射。
一个代数闭域 $K$ 上的簇 $V$ 称为 unirational，如果存在一个dominating 有理映射 $\bbA^n \dashrightarrow V$ 并且 $n = \dim V$. 任意域 $k$ 上的簇 $V$ 称为 unirational 的，如果 $V_{k^{al}}$ 是 unirational 的。
从 unirational 的簇到 Abel 簇的有理映射 $\alpha: V \dashrightarrow A$ 是常值映射。
因为 $V$ unirational , 所以存在 $\varphi: \bbA^n \dashrightarrow A$ 是 dominating 的。那么 $\beta = \alpha \circ \varphi: \bbA^n \dashrightarrow A$ 是有理映射，将 $\bbA^n$ 看成 $\bbP^1 \times \dots \times \bbP^1$ 的开子集，那么由定理 ，可以拓展成 $\beta:\bbP^1 \times \dots \times \bbP^1 \to A$. 根据命题 ，每个 $\beta_i : \bbP^1\to A$ 都是常值映射。所以 $\beta$ 是常值，故而 $\alpha$ 也是常值映射。