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群簇(Group variety)

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设 $V$ 是一个域 $k$ 上 geometrically reduced, seperated, of finite type 的概形，那么称 $V$ 是一个簇。

群簇 #

设 $G$ 是域 $k$ 上的簇。如果其上有以下两个态射和一个元素 $e$：
(a) $m: G \times_k G \to G$
(b) $inv: G\to G$
使得其在 $G$ 上满足以下三条性质：
(1) \begin{aligned} G \xrightarrow{(e,id)} G\times_k G \xrightarrow{m} G \\ G \xrightarrow{(id,e)} G\times_k G \xrightarrow{m} G \end{aligned} 和恒等映射 $id$ 相同。
(2) \begin{aligned} G\xrightarrow{(id,inv)} G \times_k G \xrightarrow{m} G \\ G\xrightarrow{(inv,id)} G \times_k G \xrightarrow{m} G \end{aligned} 和映射 $$G\to \text{Spec}\ k \xrightarrow{e} G$$ 相同。
(3) $$\begin{CD} G \times_k G \times_k G @>(\mathrm{id},m)>> G\times_k G \\ @V(m,\mathrm{id})VV @VVmV \\ G\times_k G @>m>> G\end{CD}$$ 交换。
那么我们称这个 $(G,m,inv,e)$ 为群簇。
$G(k)$ 是一个群，那么 $G(k^{al})$ 也构成一个群。
设 $V$ 是域 $k$ 上的群簇，对于 $V(k)$ 上的任意一点 $a$ 我们可以定义右平移 $t_a: V \to V$ 为以下两个映射的复合：\begin{aligned} V & \to V \times_k V &\xrightarrow{m} V \\ x &\mapsto (x,a) &\mapsto xa \end{aligned} 显然， $t_a$ 是一个同构，因为 $t_a$ 有逆 $t_{a^{-1}}$.
群簇都是光滑的。
一个 complete 连通的群簇称为 Abel 簇。
也就是连通的 proper 群簇成为 Abel 簇。
Abel 簇是射影簇，并且是交换的。
参考推论
对于 Abel 簇来说，因为其是交换的，所以我们更喜欢把 $m$ 映射写成加法。所以 $t_a(x) = x+a$ 并且 $e$ 通常写为 $0$.

刚性 #

考虑一个正则映射 $\alpha: V \times W \to U$, 并且假设 $V$ 是 complete 并且 $V \times W$ 是几何不可约的。如果存在点 $v_0 \in V, w_0 \in W, u_0 \in U$, 使得 $$\alpha(\{v_0\} \times W ) = \{u_0\}, \alpha(V \times \{w_0\}) = \{u_0\},$$ 那么 $\alpha(V \times W) = \{u_0\}$.
不妨假设 $k$ 是代数闭域。

因为 $V \times_k W$ 是不可约的，那么 $V \times_k W$ 是连通的。如果 $V$ 不是连通的， $V\times_k W$ 根本不可能连通，因此 $V$ 是连通的。

我们需要知道以下结论：
(1) 如果 $V$ 是 complete 的，那么投影映射 $q: V \times_k W \to W$ 是闭映射。
(2) 如果 $V$ 是 complete 和连通的，并且 $\varphi:V \to U$ 是从 $V$ 到仿射簇的正则映射。那么 $\varphi(V) = \{ \text{point}\}$.

设 $U_0$ 是 $u_0$ 的仿射开邻域。

因为 $V$ 是 complete, 根据 (1) , 我们可以得到 $Z = q(\alpha^{-1}(U \backslash U_0))$ 在 $W$ 中也是闭的。设 $w\in W$，那么 $w\not\in Z$ 当且仅当 $\alpha(V\times \{w\} ) \subset U_0$. 特别的， $w_0 \not \in Z$, 所以 $W \backslash Z$ 非空。因为 $V \times\{w\} \approx V$ 是 complete 的并且 $U_0$ 是仿射的， 当 $w\in W \backslash Z$, $\alpha(V \times \{w\})$ 是一个点（利用 (2))。注意到 $\alpha(V \times \{w\} ) = \alpha(v_0,w) = \{u_0\}$.

所以 $\alpha$ 在 $V \times (W \backslash)$ 上是常值函数 $u_0$. 因为 $V \times (W\backslash Z)$ 是 $V \times W$ 上非空并且开的子集，并且 $V \times W$ 是不可约的， 所以 $V \times (W\backslash Z)$ 在 $V \times W$ 中是稠密的。因为 $U$ 是 separated 的， $\alpha$ 必须在整个 $V \times W$ 上是常值函数（根据 GTM52 II EX4.2）。

两个 Abel 簇之间的正则映射都是群同态和平移的复合。
假设 $\alpha$ 将 $k$-有理点 $0$ 映射到了 $k$-有理点 $b$. 那么么我们复合 $\alpha\circ t_{-b}$, 我们就得到一个将 $0$ 映射到 $0$ 的态射。
我们不妨假设 $\alpha(0) = 0$.
考虑态射 \begin{aligned} \varphi: A \times A &\to B \\ \varphi(a,a’) &= \varphi(a+a’) – \varphi(a) -\varphi(a’) \end{aligned}

注意到 $\varphi(a,0) = \varphi(0,a’) = 0$, 所以根据刚性定理，$\varphi(A \times A) = \{0\}$. 这意味着 $\alpha$ 是一个群同态。

Abel 簇上的群结构由 $0$ 点唯一决定。因为假设 Abel 簇上有两个群结构 $+_1,+_2$ ，那么 $id(a+_1a’) = id(a) +_2 id(a’)$ 是一个群同态。 显然是群同构。
Abel 簇上的群结构是交换的。
只需要考虑态射 $a \to -a$, 这是一个群同态，那么群结构当然是交换的。

设 $V$ 和 $W$ 是 $k$ 上的完备簇， $v_0$ 和 $w_0$ 是两个 $k$ 有理点。设 $p: V \times W \to V$ 和 $q: V\times W \to W$ 是两个投影映射。 那么存在一个态射 $h: V \times W \to A$ 使得 $h(v_0,w_0) = 0$ 并且存在两个态射 $f: V\to A, g: W \to A$ 满足 $f(v_0) =0,g(w_0)= 0$ 和 $h = f\circ p + g \circ q$。

直接设 $$f = h|_{ V \times \{w_0\} }, g= h|_{ \{v_0\} \times W}$$

并且直接定义 $f(v) := f(v,w_0) = h(v,w_0)$ 和 $g(w) := g(v_0,w) = h(v_0,w)$.

设 \begin{aligned} T &= h – f\circ p – g\circ q\\ T(v,w) &= h(v,w) – h(v,w_0) – h(v_0,w) \end{aligned}

注意到 $T(V\times \{w_0\}) = T(\{v_0\} \times W) = \{0\}$, 那么满足刚性定理的条件。所以 $h = f\circ p + g\circ q$.

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