设 $V$ 是一个实线性空间。$E: V \times V \to \mathbb{R}$ 如果满足：对于任意 $u,v,w \in V$, 任意 $a,b\in \bbR$ 有
(a) $E(au+bv,w) = aE(u,w) + bE(v,w)$
(b) $E(u,v) = -E(v,u)$
(a) $E(au+bv,w) = aE(u,w) + bE(v,w)$
(b) $E(u,v) = -E(v,u)$
对于两个平面向量 $u = (x_1, y_1)$ 和 $v = (x_2, y_2)$，定义：$$B(u, v) = \det(u, v) = x_1 y_2 – x_2 y_1.$$
那么 $B: \bbR^2 \times \bbR^2 \to \bbR$ 是 $\bbR$ 上的斜对称形式。
那么 $B: \bbR^2 \times \bbR^2 \to \bbR$ 是 $\bbR$ 上的斜对称形式。
考虑偶数维向量空间 $\mathbb{R}^{2n}$，其向量记为 $(x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_n)$。标准辛形式定义为：$$\omega(u, v) = u^T J v$$其中 $J$ 是一个 $2n \times 2n$ 的分块矩阵：$$J = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}$$