设 $V$ 是一个复向量空间。$H: V \times V \to \bbC$ 如果满足以下要求：对任意 $u,v,w,\in V$ 和 对任意 $a,b \in \bbR$,
(a) $H(au+bv,w) = aH(u,w) + bH(v,w)$
(b) $H(u,v) = \overline{H(v,u)}$
那么我们称 $H$ 是 $V$ 上的 Hermitian 形式。
(a) $H(au+bv,w) = aH(u,w) + bH(v,w)$
(b) $H(u,v) = \overline{H(v,u)}$
那么我们称 $H$ 是 $V$ 上的 Hermitian 形式。
$(u_1,\dots, u_n) \cdot (v_1,\dots,v_n) = \sum_{i=1}^n u_i \overline{v_j}$ 是 $\bbC$ 上的 Hermitian 形式。
设 $V$ 是一个复向量空间。那么存在一个 Hermitian 形式和满足 $E(iu,iv) = E(u,v)$ 的实斜对称形式的一一对应。只需要定义
$$\begin{aligned} E(u,v) &= \mathrm{Im}(H(u,v)) \\ H(u,v) &= E(iu,v) + iE(u,v) \end{aligned}$$
\begin{aligned} E(v,u) &= \mathrm{Im}(H(v,u)) \\ &= – \mathrm{Im}(H(u,v))\\ &= -E(u,v) \end{aligned}
并且
\begin{aligned} H(v,u) & = E(iv,u) +i E(v,u)\\ &= E(-v,iu) -iE(u,v) \\ & = -E(v,iu) – i E(u,v) \\ &= E(iu,v) – i E(u,v) \\ &= \overline{H(u,v)} \end{aligned}
并且
\begin{aligned} H(v,u) & = E(iv,u) +i E(v,u)\\ &= E(-v,iu) -iE(u,v) \\ & = -E(v,iu) – i E(u,v) \\ &= E(iu,v) – i E(u,v) \\ &= \overline{H(u,v)} \end{aligned}
考虑 $V= \bbC/ (\bbZ + \bbZ i)$. 那么
\begin{aligned} E(x+iy,x’+ iy’) &= x’ y – xy’ \\H(x+iy,x’+iy’) &= (x+iy) \overline{x’+iy’} \end{aligned}
是相对应的 Hermitian 形式和满足 $E(iu,iv) = E(u,v)$ 的实斜对称形式。
\begin{aligned} E(x+iy,x’+ iy’) &= x’ y – xy’ \\H(x+iy,x’+iy’) &= (x+iy) \overline{x’+iy’} \end{aligned}
是相对应的 Hermitian 形式和满足 $E(iu,iv) = E(u,v)$ 的实斜对称形式。
\begin{aligned} \mathrm{Im}(H(x+iy , x’+ iy’)) & = \mathrm{Im}(xx’ + yy’ + i(x’y -xy’) \\ &= x’y – xy’ \\ &= E(x+iy,x’+iy’) \end{aligned}
并且 \begin{aligned} E(ix-y, x’+iy’) +iE(x+iy,x’+iy’) &= xx’+yy’ +i(x’y – xy’)\\& = H(x+iy,x’+iy’) ( \end{aligned}