内容目录
参考 Munkres 的书
交换幺环系数的杯积 #
设 $R$ 是一个交换幺环。
设 $X$ 是一个拓扑空间。设 $S^p(X; R) = \rmHom(S_p(X),R)$ 是 $X$ 上 $R$ 系数奇异 $p$ 上链构成的群。我们定义映射
$$\begin{aligned} S^p(X;R) \times S^q(X;R) &\xrightarrow{\cup} S^{p+q}(X;R) \\\\ (c^p,c^q) &\mapsto c^p \cup c^q. \end{aligned}$$
其中这个 $c^p\cup c^q$ 我们定义为: 如果 $T: \Delta_{p+q} \to X$ 是一个奇异 $p+q$ 复形，那么 $$\langle c^p \cup c^q, T \rangle = \langle c^p, T \circ l (\varepsilon_0,\dots, \varepsilon_p)\rangle \cdot \langle c_q, T \circ l(\varepsilon_p, \dots, \varepsilon_{p+q}) \rangle.$$
这个 $c^p \cup c^q$ 就称为 $c^p$ 和 $c^q$ 的杯积。