主要考虑曲线间的有限态射 $f:X \to Y$, 和它们典范除子之间的关系
有限态射 $f:X \to Y$ 的 degree 定义为 $$[K(X) :K(Y)].$$
设 $P\in X, Q=f(P) \in Y$. 我们定义 $P$ 点的分歧指数 $e_P$ 如下 ： 设 $t$ 是 $\calO_Q$ 的局部参数。$f^\#:\calO_Q \to \calO_P$ 将 $t$ 打到 $\calO_P$ 中。因为 $\calO_P$ 是一个一维的 regular, noetherian local domain, 所以这是一个离散赋值环, 设 $v_P$ 是其上的赋值。我们定义 $$e_P = v_P(f^\#t).$$
设 $f:X \to Y$ 是曲线之间的有限态射。如果 $e_P >1$，我们称 $f$ 在 $P$ 点分歧并且 $Q$ 称为 $f$ 的 branch point. 如果 $e_P =1$, 我们称 $f$ 在 $P$ 点不分歧。
如果 $\text{char} \ k =0$ 或 $\text{char} \ k =p \wedge p \not\mid e_P$，我们称这个分歧是温顺的。如果 $p \mid e_P$，我们称这个分歧是狂野的。
设 $f:X \to Y$ 是一个曲线间的有限可分态射。那么存在一个 $X$ 上层的短正合列 $$0 \to f^* \Omega_Y \to \Omega_X \to \Omega_{X/Y} \to 0.$$
设 $f:X \to Y$ 是一个曲线间有限可分态射。那么
(a) $\Omega_{X/Y}$ 是 $X$ 上的一个 torsion sheaf, 并且支撑集和 $f$ 的分歧点相同。特别的，$f$ 只在有限个点上分歧。
(b) 对于任意 $P\in X$, stalk $(\Omega_{X/Y})_P$ 都是有限长度 $v_P(dt/du)$ 的 principal $\mathcal{O}_P$-模。
(c) $$\mathrm{length}(\Omega_{X/Y})_P \begin{cases}= e_P -1 &,f \ \text{tamely ramified at} \ P \\\\ > e_P – 1 &, f \ \text{wildly ramified at} \ P.\end{cases}$$
(a) $\Omega_{X/Y}$ 是 $X$ 上的一个 torsion sheaf, 并且支撑集和 $f$ 的分歧点相同。特别的，$f$ 只在有限个点上分歧。
(b) 对于任意 $P\in X$, stalk $(\Omega_{X/Y})_P$ 都是有限长度 $v_P(dt/du)$ 的 principal $\mathcal{O}_P$-模。
(c) $$\mathrm{length}(\Omega_{X/Y})_P \begin{cases}= e_P -1 &,f \ \text{tamely ramified at} \ P \\\\ > e_P – 1 &, f \ \text{wildly ramified at} \ P.\end{cases}$$
设 $f:X \to Y$ 是曲线间的有限可分态射。那么我们定义 $f$ 的分歧除子为 $$R = \sum_{P\in X} \mathrm{length}(\Omega_{X/Y})_P \cdot P.$$
设 $f:X \to Y$ 是曲线间的有限可分态射。设 $K_X$ 和 $K_Y$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的典范除子。那么 $$K_X \sim f^* K_Y + R.$$
设 $f:X \to Y$ 是曲线间的有限可分态射。设 $n = \deg f$。那么 $$2g(X) -2 = n \cdot (2 g(Y)-2) + \deg R.$$ 进一步，如果 $f$ 只有 tame 的分歧，那么 $$\deg R = \sum_{P\in X}(e_P-1).$$
设 $X$ 是一个概形。其上的所有局部环都是特征 $p$ 的。我们定义 Frobenius 态射 $F:X \to X$ 如下：
(1) $F$ 在拓扑空间上是恒等映射。
(2) $F^\#: \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X$ 是 $p$ 次幂映射。
(1) $F$ 在拓扑空间上是恒等映射。
(2) $F^\#: \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X$ 是 $p$ 次幂映射。
设 $f:X \to Y$ 是曲线间的有限态射，并且假设 $K(X)$ 是 $K(Y)$ 的纯不可分域扩张。那么 $X$ 和 $Y$ 作为抽象概形是同构的，并且 $f$ 是 $k$-线性 Frobenius 态射。特别的， $g(X) = g(Y)$.