层上同调的定义 #
设 $(X,\calO_X)$ 是环空间。那么所有 $\calO_X$ 模层构成的范畴 $\mathfrak{Mod}(X)$ 有足够多的内射对象。
如果 $X$ 是任意拓扑空间，那么由 $X$ 上所有群值层构成的范畴 $\mathfrak{Ab}(X)$ 有足够多的内射对象。
设 $X$ 是一个拓扑空间。设 $\Gamma(X,\cdot)$ 是从 $\mathfrak{Ab}(X)$ 到 $\mathfrak{Ab}$ 的整体截面函子。那么我们定义上同调函子 $H^i(X,\cdot)$ 是整体截面函子的右导出函子。对于层 $\scrF$, $H^i(X,\scrF)$ 称为 $\scrF$ 的 $i$ 阶上同调群。
后面的模层的上同调，也是看作 Abel 群值层，去求上同调。
如果 $(X,\calO_X)$ 是环空间，那么所有内射 $\calO_X$ 模都是 flasque 的。
对于任意开集 $U\subseteq X$, 设 $\calO_U$ 为 $j_!(\calO_X|_U)$。设 $\scrI$ 是一个内射 $\calO_X$ 模。设 $V\subseteq U$ 是开集。那么我们有以下 $\calO_X$ 模层的含入映射 $$0\to \calO_V \to \calO_U.$$ 因为 $\scrI$ 是内射对象，所以我们有以下满态射 $$\Hom(\calO_U,\scrI) \to \Hom(\calO_V,\scrI) \to 0.$$ 又因为 $\Hom(\calO_U,\scrI) = \scrI(U)$ 和 $\Hom(\calO_V,\scrI) = \scrI(V)$，所以 $\scrI$ 是 flasque 的。
∎如果 $\scrF$ 是 $X$ 上的 flasque 层，那么对于任意 $i>0$, $H^i(X,\scrF) = 0$。
因为 $\mathfrak{Ab}(X)$ 有足够多的内射对象。 所以 $\scrF$ 一定可以嵌入到一个内射对象 $\scrI$ 中，并且设 $\scrG$ 是商层，那么 $$0 \to \scrF \to \scrI \to \scrG \to 0.$$
那么根据引理 , 这个 $\scrI$ 也是 flasque 的。根据 GTM 52 II EX 1.16b, 我们有以下正合列 $$0\to \Gamma(X,\scrF) \to \Gamma(X,\scrI) \to \Gamma(X ,\scrG) \to 0.$$ 这意味着 $H^1(X,\scrF) = 0$ 和当 $i\ge 2$ 时， $H^i(X,\scrF) \cong H^{i-1}(X,\scrG)$。根据 GTM52 II EX 1.16c, $\scrG$ 也是 flasque 的，所以当 $i>0$, $H^i(X,\scrF) =0$.
∎设 $(X,\calO_X)$ 是环空间。那么 $\Gamma(X,\cdot)$ 作为 $\mathfrak{Mod}(X) \to Mod$ 的函子， 其导出函子和上同调 $H^i(X,\cdot)$ 相同。
这里需要注意，模层范畴里的内射对象和 Abel 群值层的内射对象是不相同的。所以才要多此一举。
因为内射模层都是 flasque 的，所以可以用来计算 Abel 群值层的上同调。
∎Grothendieck 消去定理 #
Nother 拓扑空间上的 flasque 层的的正向极限也是 flasque 层。
设 $(\scrF_\alpha)$ 是 flasque 层的正向系。那么对于任意的开集的含入 $V \subseteq U$, 那么对于任意 $\alpha$, 我们有 $\scrF_\alpha(U) \to \scrF_\alpha(V)$ 是满射。因为 $\varinjlim$ 是一个正合函子，我们有 $$\varinjlim \scrF_\alpha(U) \to \varinjlim \scrF_\alpha(V)$ 仍然是满射。
再诺特拓扑空间上， $$\varinjlim \scrF_\alpha(U) = (\varinjlim \scrF_\alpha)(U)$$. 所以我们有 $$(\varinjlim \scrF_\alpha)(U) \to (\varinjlim \scrF_\alpha)(V)$$ 也是满射。所以 $\varinjlim \scrF_\alpha$ 是 flasque 层。
∎设 $X$ 是一个 Noether 拓扑空间。设 $(\scrF_\alpha)$ 是一个 Abel 群值层的正向系。那么对于任意 $i\ge 0$ 有以下自然同构 $$\varinjlim H^i(X,\scrF_\alpha) \to H^i(X,\varinjlim \scrF_\alpha).$$
对于任意 $\alpha$ 我们有自然映射 $\scrF_\alpha \to \varinjlim \scrF_\alpha$. 着诱导了上同调的映射。待续。。。
∎设 $Y$ 是 $X$ 的闭子集。设 $\scrF$ 是 $Y$ 上的 Abel 群值层。设 $j:Y \to X$ 是含入映射。那么 $H^i(Y,\scrF) = H^i(X,j_*\scrF)$, 其中 $j_*\scrF$ 参考 GTM 52 II EX1.19.
设 $\scrI^\bullet$ 是 $\scrF$ 在 $Y$ 上的 flasque 解消。那么 $j_*\scrI^\bullet$ 是 $j_*\scrF$ 在 $X$ 上的 flasque 解消。因为 $\Gamma(Y,\scrI^i) = \Gamma(X,j_*\scrI^i)$. 所以我们有 $H^i(Y,\scrF) = H^i(X,j_*\scrF)$。
∎设 $X$ 是一个维数为 $n$ 的 Noether 拓扑空间。那么对于任意 $i>n$ 和 $X$ 上的 Abel 群值层 $\scrF$，我们有 $H^i(X,\scrF) = 0$.