上同调回顾

设 $f:V \to T$ 是 proper regular 映射， $\scrF$ 是一个凝聚 $\calO_V$ 模，那么对于任意 $r\ge 0$, higher direct image sheaves $R^r f_* \mathcal{F}$ 是凝聚的 $\calO_T$ 模。

设 $f: V \to T$ 是 proper flat regular 映射，设 $\mathcal{F}$ 是有限秩局部自由的 $\calO_V$ 模。对于任意 $t\in T$, 我们记 $V_t$ 是 $V$ 在 $t$ 处的纤维，$\calF_t$ 是 $\calF$ 用 $V_t \to V$ 拉回。

(a) The formation of higher direct images of $\calF$ 和平坦基变换交换。特别的，如果 $T=\Spec \ R$ 是仿射的，并且 $R’$ 是平坦 $R$ 代数，那么 $$H^r(V’,\calF) = H^r(V,\calF) \otimes_R R’.$$

(b) 函数 $$t \mapsto \chi(\calF_t) =\sum_r (-1)^r \dim_{k(t)} H^r(V_t,\calF_t) $$ 在 $T$ 上是局部常值的。

(c) 对于任意 $r$, 函数 $$t\mapsto \dim_{k(t)} H^r(V_t,\calF_t)$$ 是上半连续的。

(d) 如果 $T$ 是整的并且 (c) 里的函数时常值，那么 $R^rf_* \calF$ 是局部自由 $\calO_T$ 模并且自然映射 $$R^r f_* \calF \otimes_{\calO_T} k(t) \to H^r(V_t,\calF_t)$$ 是同构。

(e) 如果 $H^1(V_t,\calF_t) =0$ 对于 $T$ 里面所有 $t$, 那么 $R^1 f_* \calF = 0$, $f_*\calF$ 是局部自由的，并且 the formation of $f_*\calF$ 和基变换交换。