除子 #
设 $X$ 是一个正规概形，设 $D$ 是 $X$ 的一个 Weil 除子。如果存在 $X$ 的一个开覆盖 $\{U_i\}$ 使得 $D|_{U_i}$ 是主除子，那么我们称 $D$ 是局部主 Weil 除子。
设 $X = \text{Spec} \ k[x,y,z]/(xy -z^2)$, 设 $Y: y =z=0$ , 那么 $Y$ 不是局部主除子。
非常丰沛和丰沛除子 #
一个 $V$ 上除子 $D$ 是非常丰沛的如果它的完全线性系定义了一个 $V$ 到 $\bbP^n$ 的闭浸入。
一个除子是丰沛的如果存在一个 $n$ 使得 $nD$ 是丰沛除子。
设 $A$ 是一个 Abel 簇，设 $D$ 是 $A$ 上的一个丰沛除子，那么 $3D$ 是 $A$ 上的一个非常丰沛除子。
设 $V$ 是一个 $k$ 上的完备簇，设 $\mathcal{M}$ 是一个 $\calO_V$ 的局部自由模层。对于任意包含 $k$ 的域 $K$，$\mathcal{M}$ 决定了一个 $V_K$ 上的 $\calO_{V_K}$ 模层 $\mathcal{M}’$ 并且 $$\Gamma(V_K,\mathcal{M}’) = \Gamma(V,\mathcal{M}) \otimes_k K.$$ 设 $V$ 是一个光滑完备簇，如果 $D$ 是 $V$ 的除子并且 $D’$ 是 $D$ 在 $V_K$ 上的逆像。那么 $$L(D’) = L(D) \otimes_k K.$$ 其中 $L(D) = \{f \in k(V)^\times | \text{div} (f) + D \ge 0 \} = \Gamma(V,\calL(D)).$$
(a) 如果 $D$ 和 $D’$ 是丰沛的，那么 $D+D’$ 也是丰沛的。
(b) 如果 $D$ 是 $V$ 上的丰沛除子，那么对于任意 $V$ 的闭子簇 $W$ 有 $D|_W$ 也是丰沛的。
(c) 一个除子 $D$ 是丰沛的当且仅当它扩张到 $k^{al}$ 上是丰沛的。
(d) 簇 $V$ 有丰沛除子当且仅当它扩张到 $k^{al}$ 上是丰沛的。