设 $X$ 是一个概形。我们称 $(L,Z,S)$ 为伪除子，如果 $L$ 是 $X$ 上的线丛，$Z$ 是 $X$ 的闭子集，并且 $s \in \Gamma(X-Z,L)$ 且 nowhere vanishing.（这个 nowhere vanishing 意味着 $\forall x\in X-Z$, $s$ 在 $L_x$ 中的像生成了 $L_x$ 作为 $\calO_x$ 模。）
设 $(L’,Z’,s’)$ 是一个伪除子。如果 $Z=Z’$, 存在同构 $\sigma:L \to L’$ 并且 $\sigma|_{X-Z}(s) = s’$.
给定一个 Cartier 除子，我们就有一个伪除子 $(\calO_X(D),\text{Supp} \ D,s_D)$, 其中 $s_D$ 是 $\calO_X(D)$ 的典范截面。也就是 $s_D = 1=f_i\cdot \frac{1}{f_i}$.
设 $X$ 是一个簇。对于 $X$ 上任意伪除子 $(L,Z,S)$，我们都可以表示成 $(\calO_X(D),Z,s_D)$ 其中 $Z\supseteq \text{Supp}\ D$. 并且进一步有
(a) 如果 $Z\neq X$, $D$ 是唯一决定的。
(b) 如果 $Z = X$, $D$ 在线性等价的意义下是唯一的。
设 $L$ 是概形 $X$ 上的一个线丛。那么对于 $X$ 上的任意 $k$ 维子簇 $V$, $L$ 限制在 $V$ 上 $L|_V$ 同构于一个 $V$ 上的 Cartier 除子 $D$ 对应的可逆层 $\mathscr{O}_V(C)$. 那么我们定义 $c_1(L) \cap [V] = [C]$.
如果 $L = \mathscr{O}_X(D)$, $D$ 是 $X$ 上的伪除子，那么我们定义 $c_1(\mathscr{O}_X(D)) \cap \_ : A_k X \to A_{k-1}X$ 如下 $$c_1(\mathscr{O}_X(D)) \cap \alpha = D \cdot \alpha.$$
设 $E$ 是 $X$ 上秩为 $e$ 的向量丛。设 $P = P(E)$ 是射影向量丛。设 $p: P(E) \to X$ 是对应的投影。那么我们定义 $s_i(E) \cap \_ : A_k X \to A_{k-1} X$ 为 $$s_i(E) \cap \alpha = p_*(c_1(\calO_E(1))^{e+i-1} \cap p^* \alpha).$$
设 $E$ 是 $X$ 上的一个向量丛。设 Segre 多项式为 $s_t(E) = \sum_{i=0}^\infty s_i(E) t^i$.
设 $E$ 是 $X$ 上的一个向量丛。设陈多项式为 $c_t(E) = \sum_{i=0}^\infty c_i(E) t^i$ 并且满足 $$c_t(E) \cdot s_t(E) = 1.$$
$$c_0(E) = 1, \quad c_1(E) = -s_1(E),$$
$$c_2(E) = s_1(E)^2 – s_2(E), \dots$$
$$c_n(E) = -s_1(E)c_{n-1}(E) – s_2(E)c_{n-2}(E) – \dots – s_n(E).$$
任务优先