设 $X$ 是一个 Noether 概形。设 $\scrL$ 是一个可逆层，如果对任意 $X$ 上的凝聚层 $\scrF$, 存在一个 $n_0$ （依赖于 $\scrF$）使得对于任意 $n>n_0$ 有 $\scrL^n \otimes \scrF$ 是由整体截面生成的，那么我们称 $\scrL$ 是丰沛层。
设 $X$ 是 Noether 概形。设 $\mathscr{L},\mathscr{M}$ 是可逆除子。那么
(a) 如果 $\mathscr{L}$ 是丰沛的，并且 $\mathscr{M}$ 是由整体截面有限生成的，那么 $\scrL \otimes \mathscr{M}$ 是丰沛的。
(b) 如果 $\scrL$ 是丰沛的，$\mathscr{M}$ 是任意可逆除子，那么存在一个 $N$ , 当 $n>N$ 时, $\scrL^n \otimes \mathscr{M}$ 是丰沛的。
(c) 如果 $\scrL, \mathscr{M}$ 是丰沛的，那么 $\scrL \otimes \mathscr{M}$ 也是丰沛的。
(a) 如果 $\mathscr{L}$ 是丰沛的，并且 $\mathscr{M}$ 是由整体截面有限生成的，那么 $\scrL \otimes \mathscr{M}$ 是丰沛的。
(b) 如果 $\scrL$ 是丰沛的，$\mathscr{M}$ 是任意可逆除子，那么存在一个 $N$ , 当 $n>N$ 时, $\scrL^n \otimes \mathscr{M}$ 是丰沛的。
(c) 如果 $\scrL, \mathscr{M}$ 是丰沛的，那么 $\scrL \otimes \mathscr{M}$ 也是丰沛的。
(a) 利用丰沛层的定义，对于任意凝聚层 $\scrF$, 我们知道存在一个 $n$, $\scrF \otimes \scrL^n$ 由整体截面生成。那么 $\scrF \otimes \scrL^n \otimes \mathscr{M}^n$ 也是由整体截面生成，所以 $\scrL \otimes \mathscr{M}$ 是丰沛的。
(b) 对于任意可逆层 $\mathscr{M}$, 我们知道存在 $N$, $n\ge N$ 时, 使得 $\scrL^n \otimes \mathscr{M}$ 由整体截面有限生成。当 $n>N$, 根据 (a) $\scrL^{n-N} \otimes (\scrL^N \otimes \scr \mathscr{M})$ 是丰沛的。所以$\scrL^n \otimes \mathscr{M}$ 是丰沛的。
(c) 因为 $\mathscr{M}$ 是丰沛的，所以存在 $n_0$, 对任意 $n\ge n_0$, $\mathscr{M}^n$ 由整体截面生成，那么 $\scrL \otimes \mathscr{M}$ 是丰沛的。显然，对任意 $n\ge n_0$, $\scrL^n \otimes \mathscr{M}^n$ 也是丰沛的。用 GTM 52 II 上命题7.5, 即得 $\scrL \otimes \mathscr{M}$ 是丰沛的。
(b) 对于任意可逆层 $\mathscr{M}$, 我们知道存在 $N$, $n\ge N$ 时, 使得 $\scrL^n \otimes \mathscr{M}$ 由整体截面有限生成。当 $n>N$, 根据 (a) $\scrL^{n-N} \otimes (\scrL^N \otimes \scr \mathscr{M})$ 是丰沛的。所以$\scrL^n \otimes \mathscr{M}$ 是丰沛的。
(c) 因为 $\mathscr{M}$ 是丰沛的，所以存在 $n_0$, 对任意 $n\ge n_0$, $\mathscr{M}^n$ 由整体截面生成，那么 $\scrL \otimes \mathscr{M}$ 是丰沛的。显然，对任意 $n\ge n_0$, $\scrL^n \otimes \mathscr{M}^n$ 也是丰沛的。用 GTM 52 II 上命题7.5, 即得 $\scrL \otimes \mathscr{M}$ 是丰沛的。
设 $X$ 是 Noether , 有限型概形。 设 $\mathscr{L},\mathscr{M}$ 是可逆除子。那么
(a) 如果 $\scrL$ 是非常丰沛的并且 $\mathscr{M}$ 是由整体截面生成的。那么 $\scrL\otimes \mathscr{M}$ 是非常丰沛的。
(b) 如果 $\scrL$ 是丰沛的，那么存在一个 $n_0>0$ 使得对于任意 $n>n_0$, $\scrL^n$ 是非常丰沛的。
(a) 如果 $\scrL$ 是非常丰沛的并且 $\mathscr{M}$ 是由整体截面生成的。那么 $\scrL\otimes \mathscr{M}$ 是非常丰沛的。
(b) 如果 $\scrL$ 是丰沛的，那么存在一个 $n_0>0$ 使得对于任意 $n>n_0$, $\scrL^n$ 是非常丰沛的。
(a) 因为 $\mathscr{L}$ 是非常丰沛的，存在一个闭嵌入 $i: X \hookrightarrow \mathbb{P}^N$，使得 $\mathscr{L} \cong i^* \mathcal{O}_{\mathbb{P}^N}(1)$。因为 $\mathscr{M}$ 是由整体截面有限生成的，存在一个态射 $f: X \rightarrow \mathbb{P}^M$，使得 $\mathscr{M} \cong f^* \mathcal{O}_{\mathbb{P}^M}(1)$。积映射 $(i, f): X \rightarrow \mathbb{P}^N \times \mathbb{P}^M$ 是闭嵌入。虑经典的 Segre 嵌入 $s: \mathbb{P}^N \times \mathbb{P}^M \hookrightarrow \mathbb{P}^{NM+N+M}$。 这是一个闭嵌入。复合映射 $\Psi = s \circ (i, f): X \hookrightarrow \mathbb{P}^{NM+N+M}$ 是两个闭嵌入的复合，因此它也是一个闭嵌入。
$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{NM+N+M}}(1)$ 拉回到 $\mathbb{P}^N \times \mathbb{P}^M$ 上是 $p_1^* \mathcal{O}(1) \otimes p_2^* \mathcal{O}(1)$。
再拉回到 $X$ 上：
$$\Psi^* \mathcal{O}(1) \cong (i, f)^* \left( p_1^* \mathcal{O}(1) \otimes p_2^* \mathcal{O}(1) \right) \cong i^* \mathcal{O}(1) \otimes f^* \mathcal{O}(1) \cong \mathscr{L} \otimes \mathscr{M}$$
(b) 因为 $\mathscr{L}$ 是丰沛的，根据 GTM52 II 定理7.6，存在某个正整数 $m > 0$，使得 $\mathscr{L}^m$ 是非常丰沛的。$\mathscr{L}$ 是丰沛的，根据丰沛的定义，存在一个整数 $N_1$，使得对于所有的 $k \ge N_1$，$\mathscr{L}^k$ 都是由整体截面生成的。
$n_0 = m + N_1$。
对于任意 $n > n_0$，我们可以把 $n$ 写成：
$$n = m + k$$
其中 $k = n – m > (m + N_1) – m = N_1$。
$$\mathscr{L}^n = \mathscr{L}^m \otimes \mathscr{L}^k$$ 那么由 (a) 即得。