设 $\alpha: A \to B$ 是两个 Abel 簇间的态射，如果 $\alpha (0 ) = 0$, 那么 $\alpha$ 也是群同态。称 $\alpha$ 为两个 Abel 簇间的同态。
群簇的里推论, 就可说明其确实是群同态。
设 $\alpha :A \to B$ 是 Abel 簇间的同态。我们定义 $\alpha$ 的核为如下纤维积 $$\begin{CD} A_0=A\times_B \text{Spec} \ k @>>> \text{Spec} \ k\\ @VVV @V0VV \\ A @>\alpha>> B\end{CD}$$
设 $\alpha: A \to B$ 是 Abel 簇间的同态，如果 $\alpha$ 是满射并且 $\text{Ker} \ \alpha = A_0$ 是有限的，即 $\dim \text{Ker} \ \alpha =0$，那么称 $\alpha$ 是同源(isogeny)。
设 $\alpha: A \to B$ 是 Abel 簇间的同态，以下等价：
(a) $\alpha$ 是同源。
(b) $\dim A = \dim B$ 且 $\alpha$ 是满射。
(c) $\dim A = \dim B$ 且 $\text{Ker} \ \alpha$ 有限。
(d) $\alpha$ 是有限，平坦并且满射。
(a) $\alpha$ 是同源。
(b) $\dim A = \dim B$ 且 $\alpha$ 是满射。
(c) $\dim A = \dim B$ 且 $\text{Ker} \ \alpha$ 有限。
(d) $\alpha$ 是有限，平坦并且满射。
我们定义同源的次数为它作为同态的次数，即 $[k(A):\alpha^*k(B)]$.
当这个同源是可分态射，那么次数等于 $\alpha^{-1}(0)$ 元素个数。
如果 $\alpha$ 次数为 $d$，那么 $\alpha_* \calO_A$ 是次数为 $d$ 的局部自由层。
设 $\alpha : A \to B$ 是 Abel 簇间同态，如果 $k(A)/ k(B)$ 是可分扩张，那么称 $\alpha$ 为可分的。
如果 $\alpha$ 是可分的，那么 $\alpha$ 是平展态射。进一步，如果 $k$ 是代数闭域并且 $\alpha: A \to B$ 是可分的，那么 $\alpha : A \to B$ 的纤维都只有 $\deg(\alpha)$ 个点。
设 $A$ 是一个维数为 $g$ 的 Abel 簇，设 $n>0$. 那么 $n_A : A \to A$ 是一个次数为 $n^{2g}$ 的同源。当 $k$ 特征为 $0$ 的时候， $n_A$ 是平展的。当 $k$ 的特征为 $p \neq 0$， $n_A$ 是平展的当且仅当 $p$ 不整除 $n$.