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代数几何和拓扑学的对应关系如下
| 代数几何 | 拓扑学 |
| 分离 | Hausdorff 空间 |
| 真(proper) | 紧致空间 |
如果 $f, g: X \to Y$ 是两个连续函数，且 $Y$ 是 Hausdorff 空间。 如果 $f$ 和 $g$ 在 $X$ 的某个稠密子集上相等，那么它们在整个 $X$ 上都相等。
设 $S$ 是一个概形，设 $X$ 是一个 $S$ 上的既约概形，并且设 $Y$ 是一个 $S$ 上的分离概形。设 $f,g: X \to Y$ 是两个 $S$ 态射。如果 $f$ 和 $g$ 在 $X$ 的某个稠密子集上相等，那么它们在整个 $X$ 上都相同。
分离态射 #
设 $f: X \to Y$ 是概形间的态射。
我们定义对角态射 $\Delta: X \to X \times_YX$ 为满足以下条件的唯一的态射: \begin{aligned} X \xrightarrow{\Delta} X \times_Y X \xrightarrow{p_1} X \\ X \xrightarrow{\Delta} X \times_Y X \xrightarrow{p_2} X \end{aligned} 复合后的这两个态射都和态射 $id_X : X \to X$ 相同。
设 $f:X \to Y$ 是两个概形间的态射，如果 $\Delta$ 是闭浸入，那么我们称 $f$ 是分离态射。
设 $X$ 是一个概形，如果态射 $X \to \text{Spec} \ \bbZ$ 是分离态射，则称 $X$ 是分离概形。
仿射概形间的态射都是分离的。
仿射概形都是分离概形。
设 $f:X \to Y$ 是两个概形间的态射，如果 $\Delta(X)$ 是 $X \times_Y X$ 的闭集，那么我们称 $f$ 是分离态射。
设 $f: X \to Y$ 是两个概形间的态射，并且假设 $X$ 是 Noether 概形。那么以下等价：
(1) $f$ 是分离态射。
(2) 对于任意域 $K$ 和任意满足 $\text{Frac}(R)=K$ 的赋值域 $R$，设 $i: \text{Spec} \ K \to \text{Spec} \ R$ 是由 $R\to K$ 诱导的态射。给定态射 $\text{Spec} \ K \to X$ 和 $\text{Spec} \ R \to Y$ ，使得下图实线交换
(1) $f$ 是分离态射。
(2) 对于任意域 $K$ 和任意满足 $\text{Frac}(R)=K$ 的赋值域 $R$，设 $i: \text{Spec} \ K \to \text{Spec} \ R$ 是由 $R\to K$ 诱导的态射。给定态射 $\text{Spec} \ K \to X$ 和 $\text{Spec} \ R \to Y$ ，使得下图实线交换
并且存在至多一个从 $\text{Spec} \ R \to X$ 的态射，使得上图实线+虚线交换。
$f:X \to Y$ 是单态射当且仅当 $\Delta : X \to X \times_Y X$ 是一个同构。
单态射都是分离的。
闭浸入和开浸入是分离态射。
因为闭浸入和开浸入都是单态射，所以 $\Delta$ 是同构，显然满足 $\Delta(X)$ 是闭集。故为分离态射。
设 $X,Y$ 是 Noether 概形。两个分离态射$f:X \to Y,g:Y \to Z$ 的复合是分离态射。
设我们有两个分离态射 $f: X \to Y, g: Y \to Z$, 考虑以下交换图 $$\begin{CD} \text{Spec} \ K @>s>> X \\ @ViVV @Vg\circ f VV \\ \text{Spec} \ R @>t’>> Z \end{CD}$$如果存在 $h,h’: \text{Spec} \ R \to Y$ 使得上图交换。
考虑交换图 $$\begin{CD} \text{Spec} \ K @>s’>> Y \\ @ViVV @VgVV \\ \text{Spec} \ R @>t’>> Z\end{CD}$$我们知道 $f\circ h$ 和 $f\circ h’$ 使得上图交换，因为 $g$ 是分离的，所以 $f\circ h = f\circ h’$.
考虑交换图 $$\begin{CD} \text{Spec} \ K @>s’>> Y \\ @ViVV @VgVV \\ \text{Spec} \ R @>t’>> Z\end{CD}$$我们知道 $f\circ h$ 和 $f\circ h’$ 使得上图交换，因为 $g$ 是分离的，所以 $f\circ h = f\circ h’$.
考虑交换图 $$\begin{CD} \text{Spec} \ K @>s>> X\\ @ViVV @VfVV \\ \text{Spec} \ R @>f\circ h=f\circ h’>> Y\end{CD}$$ 那么 $h,h’$ 都使得上图交换，因为 $f$ 是分离的，所以 $h = h’$.
设 $X$ 是 Noether 概形，分离态射 $f:X \to Y$ 在基变换下是稳定的。
考虑下图 $$\begin{CD}\text{Spec} \ K @>>> X’ @>g’>> X\\ @ViVV @V{f^\prime}VV @VfVV \\ \text{Spec} \ R @>>> Y’ @>g>>Y \end{CD}$$
假设存在映射 $h,h’: \text{Spec} \ R \to X’$ 使得图
假设存在映射 $h,h’: \text{Spec} \ R \to X’$ 使得图
交换。那么考虑 $g’\circ h$ 和 $g’\circ h’$ 使得下图交换
因为 $f$ 是分离的，所以 $g’\circ h = g’ \circ h’$.
那么根据 $X’$ 作为纤维积的泛性质，我们可以得到 $h = h’$. 即得 $f’:X’ \to Y’$ 是分离的。
设 $f:X \to Y$ 和 $f’ : X’ \to Y’$ 是两个分离的 $S$ 态射($X,X’$ 都是 Noether 概形)，那么映射 $f\times f’ : X \times_S X’ \to Y \times_S Y’$ 是分离态射。
利用分离态射的判别准则，显然。
设 $f: X \to Y$ 和 $g:Y \to Z$ 是两个态射。如果 $g\circ f$ 是分离态射，那么 $f$ 也是分离态射。
考虑交换图 $$\begin{CD} \text{Spec} \ K @>s>> X \\ @ViVV @VfVV \\ \text{Spec} \ R @>t>> Y\end{CD}$$ 如果存在 $h,h’: \text{Spec} \ R \to X$ 使得上图交换，那么我们考虑以下交换图 $$\begin{CD}\text{Spec} \ K @>s>> X \\ @ViVV @Vg\circ fVV \\ \text{Spec} \ R @>g\circ t>> Z \end{CD}$$ 因为 $g\circ f$ 是分离的。所以 $h = h’$.
态射 $f: X \to Y$ 是闭浸入当且仅当存在一个 $Y$ 的开覆盖 $\{Y_i\}$ 使得 $f_i : f^{-1}(Y_i) \to Y_i$ 都是闭浸入。
$f: X \to Y$ 是分离的当且仅当 $Y$ 上有一个开覆盖 $\{V_i\}$ 使得 $f|_{f^{-1}(V_i)} : f^{-1}(V_i) \to V_i$ 都是分离的。
设 $S$ 是一个概形，设 $X$ 是一个 $S$ 上的既约概形，并且设 $Y$ 是一个 $S$ 上的分离概形。设 $f,g: X \to Y$ 是两个 $S$ 态射。如果 $f$ 和 $g$ 在 $X$ 的某个稠密子集上相等，那么它们在整个 $X$ 上都相同。