设 $Y$ 是一个拓扑空间。一个函数 $\varphi: Y \to \bbZ$ 称为上半连续函数，如果对于任意 $y \in Y$, 存在一个包含 $y$ 的开集 $U$ 使得对于所有 $y’ \in U, \varphi(y’) \le \varphi(y)$.
设 $f:\bbR \to \bbZ$ 如下 $$f(x) = \begin{cases} 1&,x=0\\ 0 &,x\neq 0 \end{cases}$$ 那么 $f$ 是上半连续函数。
设 $f: X \to Y$ 是诺特概形之间的射影态射，设 $\scrF$ 是 $X$ 上的凝聚层，并且在 $Y$ 上平坦。那么对于任意 $i\ge 0$, 函数 $$h^i(y,\scrF) = \dim_{k(y)} H^i(X_y,\scrF_y)$$ 是 $Y$ 上的上半连续函数。
设 $f: X \to Y$ 是诺特概形之间的射影态射，设 $\scrF$ 是 $X$ 上的凝聚层，并且在 $Y$ 上平坦。假设 $Y$ 是整的，并且对于一些 $i$, 函数 $h^i(y,\scrF)$ 在 $Y$ 上是常值的。那么 $R^if_*(\scrF)$ 在 $Y$ 上是局部自由的，并且对于任意 $y$, 自然映射 $$R^i f_*(\scrF) \otimes k(y) \to H^i(X_y,\scrF_y)$$ 是同构。