设出现的概形都是域 $k$ 上的有限型。
设 $f:X\to Y$ 是域 $k$ 上的有限型概形之间的态射。我们称 $f$ 是相对维数为 $n$ 的光滑态射如果
(1) $f$ 是平坦的。
(2) 如果 $X’ \subseteq X$，$Y’\subseteq Y$ 都是不可约分支并且使得 $f(X’) \subseteq Y’$, 那么 $\dim X’ = \dim Y’ +n$.
(3) 对于任意 $x\in X$, $$\dim_{k(x)}(\Omega_{X/Y} \otimes k(x)) =n.$$
(1) $f$ 是平坦的。
(2) 如果 $X’ \subseteq X$，$Y’\subseteq Y$ 都是不可约分支并且使得 $f(X’) \subseteq Y’$, 那么 $\dim X’ = \dim Y’ +n$.
(3) 对于任意 $x\in X$, $$\dim_{k(x)}(\Omega_{X/Y} \otimes k(x)) =n.$$
对于任意 $Y$, $\bbA_Y^n$ 和 $\bbP_Y^n$ 都是 $Y$ 上相对维数为 $n$ 光滑的。
(a) 开浸入是相对维数为 $0$ 的光滑态射。
(b) 基变换：设 $f:X \to Y$ 是相对维数为 $n$ 的光滑态射， $g: Y’ \to Y$ 是任意态射，那么
中的 $f^\prime$ 也是相对维数为 $n$ 的光滑态射。
(c) 复合：设 $f:X \to Y$ 是相对维数为 $n$ 的光滑态射， $g:Y \to Z$ 是相对维数为 $m$ 的光滑态射，那么 $g\circ f: X \to Z$ 是相对维数为 $n+m$ 的光滑态射。
(d) 乘积：如果 $f: X \to Z$ 是相对维数为 $n$ 的光滑态射，$g:Y \to Z$ 是相对维数为 $m$ 的光滑态射。那么 $X \times_Z Y \to Z$ 是相对维数为 $n+m$ 的光滑态射。
(b) 基变换：设 $f:X \to Y$ 是相对维数为 $n$ 的光滑态射， $g: Y’ \to Y$ 是任意态射，那么
(c) 复合：设 $f:X \to Y$ 是相对维数为 $n$ 的光滑态射， $g:Y \to Z$ 是相对维数为 $m$ 的光滑态射，那么 $g\circ f: X \to Z$ 是相对维数为 $n+m$ 的光滑态射。
(d) 乘积：如果 $f: X \to Z$ 是相对维数为 $n$ 的光滑态射，$g:Y \to Z$ 是相对维数为 $m$ 的光滑态射。那么 $X \times_Z Y \to Z$ 是相对维数为 $n+m$ 的光滑态射。
设 $f:X\to Y$ 是域 $k$ 上的有限型概形之间的态射。那么 $f$ 是相对维数为 $n$ 的光滑态射当且仅当
(1) $f$ 是平坦的。
(2) 对于任意点 $y\in Y$, 设 $X_ {\overline{y}}= X_y \otimes_{k(y)} \overline{k(y)}$，其中 $\overline{k(y)}$ 是 $k(y)$ 的代数闭包。那么 $X_{\overline{y}}$ 是等维的，维数为 $n$ 且正则的。（ $f$ 的纤维是 equidimension $n$ 的几何正则的。）
(1) $f$ 是平坦的。
(2) 对于任意点 $y\in Y$, 设 $X_ {\overline{y}}= X_y \otimes_{k(y)} \overline{k(y)}$，其中 $\overline{k(y)}$ 是 $k(y)$ 的代数闭包。那么 $X_{\overline{y}}$ 是等维的，维数为 $n$ 且正则的。（ $f$ 的纤维是 equidimension $n$ 的几何正则的。）
设 $A \to B$ 是局部诺特环的局部同态。设 $M$ 是有限生成的 $B$ 模，设 $t\in A$ 是一个不可逆元并且不是零因子。那么 $M$ 是在 $A$ 上平坦当且仅当
(1) $t$ 在 $M$ 中不是一个零因子
(2) $M/tM$ 在 $A/tA$ 是平坦的。
(1) $t$ 在 $M$ 中不是一个零因子
(2) $M/tM$ 在 $A/tA$ 是平坦的。
设 $f:X \to Y$ 是代数闭域 $k$ 上的光滑簇之间的态射。设 $n = \dim X – \dim Y$. 那么以下等价：
(1) $f$ 是相对维数为 $n$ 的光滑态射。
(2) $\Omega_{X/Y}$ 是 $X$ 上秩为 $n$ 的局部自由层。
(3) 对于任意闭点 $x \in X$, 诱导的 Zariski 切空间之间态射 $$T_f: T_x \to T_y$$ 是满射。
(1) $f$ 是相对维数为 $n$ 的光滑态射。
(2) $\Omega_{X/Y}$ 是 $X$ 上秩为 $n$ 的局部自由层。
(3) 对于任意闭点 $x \in X$, 诱导的 Zariski 切空间之间态射 $$T_f: T_x \to T_y$$ 是满射。
设 $f:X\to Y$ 是特征为 $0$ 的代数闭域 $k$ 上的簇之间的态射。并且假设 $X$ 是非奇异的。那么存在 $Y$ 的一个非空开子集 $V\subseteq Y$ 使得 $f: f^{-1} V \to V$ 是光滑态射。
设 $X$ 是一个特征为 $0$ 的代数闭域 $k$ 上的非奇异的射影簇。设 $\mathfrak{d}$ 是一个没有基点的线性系。那么几乎 $\mathfrak{d}$ 的任意一个元素，看成是一个 $X$ 中的闭子概形，是非奇异的（但可能是可约的）。