设 $X$ 是一个概形。我们定义 $X$ 在点 $x$ 处的 Zariski 余切空间为 $$\frakm_{X,x}/\frakm_{X,x}^2,$$ 看成是剩余域 $\kappa(x) = \calO_{X,x}/ \frakm_{X,x}$ 上的一个向量空间。
$X$ 在点 $x$ 处的 Zariski 余切空间的对偶空间称为 $X$ 在点 $x$ 处的 Zariski 切空间。
设 $T_{X,x}$ 是 $X$ 在 $x$ 处的 Zariski 切空间，那么 $$\dim T_{X,x} \ge \dim \calO_{X,x}.$$
当 $\dim T_{X,x} = \dim \calO_{X,x}$ 时，我们称 $X$ 在 $x$ 处非奇异。当 $\dim T_{X,x} > \dim \calO_{X,x}$ 时，我们称 $X$ 在 $x$ 处奇异。
设 $K$ 时一个域，那么 $\text{Spec} K[x_1,\dots,x_n]$ 在 $(x_1,\dots,x_n)$ 这一点处的 Zariski 切空间的维数为 $n$.
设 $\frakp = (x_1,\dots,x_n)$, $A = K[x_1,\dots, x_n]$, 那么 $$0\to \frakp^2 \to \frakp \to \frakp/\frakp^2 \to 0.$$ 因为局部环函子是正合的，故 $$0\to \frakp^2 A_\frakp \to \frakp A_\frakp \to \frac{\frakp A_\frakp}{\frakp^2 A_\frakp} \to 0.$$ 我们得到 $\frakp/\frakp^2 \cong \frac{\frakp A_\frakp}{\frakp^2 A_\frakp} $, 显然 $\frakp/\frakp^2$ 是 $n$ 维的。
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