概形 $(X, \mathcal{O}_X)$ 称为 reduced , 如果对任意开集 $U\subseteq X$ , 环 $\mathcal{O}_X(U)$ 是既约环（即没有非零的幂零元）。
概形 $(X, \mathcal{O}_X)$ 是既约的当且仅当 $\forall x\in X$ , $\mathcal{O}_{X,x}$ 是既约环。
$\text{Spec}\ A$ 是既约的当且仅当 $Nil(A)=0$ .
左推右是显然的。只要证右推左。
设 $\frakp \in \text{Spec} \ A$, $\frac{f}{g} \in A_\frakp$, 如果我们假设 $\left(\frac{f}{g}\right)^n =0$, 那么存在 $s \in A- \frakp$, 使得 $sf^n = 0\in \frakp$. 那么我们就得到 $s^nf^n=0$，进而 $sf=0$. 那么就有 $\frac{f}{g}=\frac{0}{1} \in A_\frakp$. 所以 $A_\frakp$ 是既约环。所以 $\text{Spec} \ A$ 是既约的。
设 $\frakp \in \text{Spec} \ A$, $\frac{f}{g} \in A_\frakp$, 如果我们假设 $\left(\frac{f}{g}\right)^n =0$, 那么存在 $s \in A- \frakp$, 使得 $sf^n = 0\in \frakp$. 那么我们就得到 $s^nf^n=0$，进而 $sf=0$. 那么就有 $\frac{f}{g}=\frac{0}{1} \in A_\frakp$. 所以 $A_\frakp$ 是既约环。所以 $\text{Spec} \ A$ 是既约的。
引理（IIEX 2.18）：设 $A$ 是一个环， $X = \text{Spec}\ A$ , 并且 $f \in A$ . 那么 $f$ 是幂零元当且仅当 $D(f)$ 是空集。
” $\implies$ ” 存在 $n\ge 1$ 使得 $f^n =0$ . 对于任意的素理想 $\mathfrak{p}$ , $f^n \in \mathfrak{p}$ , 这意味着 $f\in \mathfrak{p}$ . 即 $D(f)$ 是空集。
” $\impliedby$ ” 因为 $D(f)=\varnothing$ , 所以对任意素理想 $\mathfrak{p}$ , $f\in \mathfrak{p}$ . 那么 $f\in Nil(A)= \bigcap_{\mathfrak{p}} \mathfrak{p}$ . 所以 $f$ 是幂零元。