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形式模空间(formal moduli)

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阿廷环的函子 (Functors of Artin Rings) #

设 $k$ 为一个固定的代数闭基域，并设 $\mathcal{C}$ 为剩余域为 $k$ 的局部阿廷 $k$-代数的范畴。设 $\widehat{\mathcal{C}}$ 为剩余域为 $k$ 的完备局部 $k$-代数的范畴。范畴 $\widehat{C}$ 包含范畴 $\mathcal{C}$。设 $R$ 为一个完备局部 $k$-代数，对于每个 $A\in \mathcal{C}$，设 $h^R(A)$ 为 $k$-代数同态的集合 $Hom(R,A)$。对于 $\mathcal{C}$ 中的任意态射 $A\to B$，我们得到一个集合的映射$$h^R(A) \to h^R(B)$$所以 $h^R$ 是一个从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{S}ets$ 的协变函子。

一个协变函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{S}ets$ 如果同构于某个完备局部 $k$-代数 $R$ 的函子 $h^R$，则称为可顺表示的 (pro-representable)。

考虑对于完备局部 $k$-代数 $R$（极大理想为 $\mathfrak{m}$）的任意函子同态 $\varphi: h^R \to F$。特别地，对于每个 $n$，这将给出映射 $\varphi_n : Hom(R,R/\mathfrak{m}^n) \to F(R/\mathfrak{m}^n)$，并且 $R$ 到 $R/\mathfrak{m}^n$ 的商映射的像给出了一个元素 $\xi_n \in F(R/\mathfrak{m}^n)$。这些元素 $\xi_n$ 是相容的，即自然映射 $R/\mathfrak{m}^{n+1} \to R/\mathfrak{m}^n$ 诱导了集合映射 $F(R/\mathfrak{m}^{n+1}) \to F(R/\mathfrak{m}^n)$，该映射将 $\xi_{n+1}$ 发送到 $\xi_n$。因此，集合 ${\xi_n}$ 定义了一个元素 $\xi \in \varprojlim F(R/\mathfrak{m}^n)$。我们将称这样的集合 $\xi = {\xi_n}$ 为 $F$ 在环 $R$ 上的一个形式族 (formal family)。我们可以通过定义 $\widehat{F}(R) = \varprojlim F(R/\mathfrak{m}^n)$ 对于任意 $R\in \widehat{\mathcal{C}}$，将 $\mathcal{C}$ 上的任意函子 $F$ 延拓为从 $\widehat{\mathcal{C}}$ 到集合的函子 $\widehat{F}$。在这个记号下，$\widehat{F}(R)$ 是 $F$ 在 $R$ 上的形式族的集合。

设 $\mathcal{F} : \mathcal{C}at \to \mathcal{S}ets$ 为一个反变函子。回顾 $\mathcal{F}$ 是可表示的，如果存在一个对象 $\mathfrak{M} \in \mathop{Ob} \mathcal{C}at$ 使得 $\mathcal{F} \cong Hom_{\mathcal{C}at}(-,\mathfrak{M})$。如果存在这样的 $\mathfrak{M}$，它被称为 $\mathcal{F}$ 的通用对象 (universal object) 或 精细模空间 (fine moduli space)。
我们称函子态射 $G \to F$ 是强满射 (strongly surjective) 的，如果对于每个 $A \in \mathcal{C}$，映射 $G(A) \to F(A)$ 是满射，此外，对于 $\mathcal{C}$ 中的每个满射 $B \to A$，映射 $G(B) \to G(A) \times_{F(A)}F(B)$ 也是满射。
设 $F:\mathcal{C} \to \mathcal{S}ets$ 为一个函子。一个对子 $(R,\xi)$ 其中 $R \in \widehat{\mathcal{C}}$ 且 $\xi \in \widehat{F}(R)$ 是$F$ 的 Versal 族 (versal family)，如果关联映射 $h^R \to F$ 是强满射。（在我们的加厚中，这意味着给定一个映射 $R \to A$ 诱导元素 $\eta \in F(A)$，并且给定 $\theta \in F(B)$ 映射到 $\eta$，可以将映射 $R \to A$ 提升为映射 $R \to B$ 以诱导 $\theta$。）Miniversal 族 (miniversal family)，如果 $(R,\xi)$ 是 Versal 的，并且此外映射 $h^R(D) \to F(D)$ 是双射，其中 $D = k[t]/t^2$ 是对偶数环。通用族 (universal family)，如果它顺表示函子 $F$。
设 $(R,\xi)$ 为函子 $F$ 的形式族。
(a) 如果 $(R,\xi)$ 是 Versal 族，则对于任何其他形式族 $(S,\eta)$，存在环同态 $f: R\to S$ 使得诱导映射 $\widehat{F}(R) \to \widehat{F}(S)$ 将 $\xi$ 发送到 $\eta$。
(b) 如果 $(R,\xi)$ 是 Miniversal 的，则对于任何 $(S,\eta)$，(a) 中的映射 $f:R\to S$ 诱导唯一的同态 $R/\mathfrak{m}_R^2 \to S/ \mathfrak{m}_S^2$。
(c) 如果 $(R,\xi)$ 是通用族，则对于 (a) 中的任何 $(S,\eta)$，对应的映射 $f: R \to S$ 是唯一的。
函子 $F:\mathcal{C} \to \mathcal{S}ets$ 具有 Miniversal 族当且仅当($H_0$) $F(k)$ 只有一个元素。($H_1$) 对于每个小扩张 $A^{\prime\prime} \to A$， $F(A^\prime \times_A A^{\prime\prime}) \to F(A^\prime) \times_{F(A)} F(A^{\prime\prime})$ 是满射。($H_2$) 当 $A^{\prime\prime} = D$ 且 $A=k$ 时，$H_1$ 的映射是双射。($H_3$) $t_F$ 是有限维 $k$-向量空间。此外，$F$ 是可顺表示的当且仅当额外满足：5. ($H_4$) 对于每个小扩张 $p:A^{\prime\prime} \to A$ 和每个 $p^{-1}(\eta)$ 非空的 $\eta \in F(A)$，$t_F$ 在 $p^{-1}(\eta)$ 上的群作用是双射。

形式模的代数化 (Algebraization of Formal Moduli) #

设 $R,\mathfrak{m}$ 为剩余域为 $k$ 的完备局部环，并假设我们给定 $X_0$ 在 $R$ 上的变形的形式族，即对于每个 $n$，在 $R_n = R/\mathfrak{m}^{n+1}$ 上平坦且有限型的概形 $X_n$ 以及诱导同构 $X_n \xrightarrow{\cong} X_{n+1} \otimes_{R_{n+1}} R_n$ 的映射 $X_n \to X_{n+1}$。那么存在一个在 $\mathrm{Spf}\ R$（$R$ 的形式谱）上平坦的诺特形式概形 $\mathcal{X}$，使得对于每个 $n$，$$X_n \cong \mathcal{X}\times_R R_n.$$
设 $\mathcal{X}$ 为一个形式概形，在 $\mathrm{Spf}\ R$ 上是固有的 (proper)，其中 $R,\mathfrak{m}$ 是一个完备局部环，并假设在 $\mathcal{X}$ 上存在一个可逆层 $\mathcal{L}$ 使得 $\mathcal{L}_0 = \mathcal{L}\otimes_R k$ 在 $X_0 =\mathcal{X} \otimes_R k$ 上是丰沛的 (ample)。那么存在 $R$ 上的一个概形 $X$，连同一个丰沛线丛 $L$，使得 $\mathcal{X} = \widehat{X}$ 且 $\mathcal{L} = \widetilde{L}$（沿 $R$ 上的闭纤维取完备化）。特别地，$\mathcal{X}$ 是有效的 (effective)。

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