设 $(A,\mathfrak{m})$ 是一个剩余域为 $k$ 的局部环。我们将考虑序列$$0 \to J \to C^\prime \to C \to 0$$其中 $C$ 是剩余域为 $k$ 的局部阿廷环，$C^\prime$ 是另一个映射到 $C$ 的局部阿廷环，且 $J$ 是一个满足 $\mathfrak{m}_{C^\prime} J =0$ 的理想，因此 $J$ 可以被视为一个 $k$-向量空间。$A$ 的一个障碍理论是一个 $k$ 上的向量空间 $V$，连同对于上述每个序列 $0\to J \to C^\prime \to C \to 0$ 以及每个同态 $u:A \to C$，都有一个元素 $\varphi(u,C^\prime) \in V \otimes J$，满足两个性质：(a) $\varphi(u,C^\prime) = 0$ 当且仅当 $u$ 提升为一个映射 $u^\prime: A \to C^\prime$，(b) $\varphi$ 是函子性的，即如果 $K\subseteq J$ 是一个子空间，那么与 $u$ 和序列 $0 \to J/K \to C^\prime/K \to C \to 0$ 相关的元素 $\varphi(u,C^\prime/K)$ 正是 $\varphi(u,C^\prime)$ 在自然映射 $V \otimes J \to V \otimes J/K$ 下的像。
一个无穷小加厚 $Y \subseteq Y^\prime$ 意味着 $Y$ 是另一个概形 $Y^\prime$ 的闭子概形，并且定义 $Y$ 在 $Y^\prime$ 内部的理想 $\mathcal{I}$ 是幂零的。
设 $X$ 是 $k$ 上有限型的非奇异仿射概形，设 $f: Y \to X$ 是来自 $k$ 上仿射概形 $Y$ 的态射，并设 $Y\subseteq Y^\prime$ 是 $Y$ 的无穷小加厚。那么态射 $f$ 可以提升为态射 $g:Y^\prime \to X$ 使得 $g|_Y = f$。
使用引理 (关联到 $X$ 的约化概形) 的证明，$Y^\prime$ 也是仿射的。设 $X = \mathop{Spec}A, Y = \mathop{Spec} B, Y^\prime = \mathop{Spec} B^\prime$。那么 $f$ 对应于一个环同态，我们称之为 $f:A \to B$。另一方面，$B$ 是 $B^\prime$ 模去一个理想 $I$ 的商，其中对于某个 $n$ 有 $I^n = 0$。问题在于找到一个同态 $g: A \to B^\prime$ 提升 $f$，即 $g$ 随后接投影 $B^\prime \to B$ 等于 $f$。如果我们通过其幂次过滤 $I$ 并考虑序列 $B^\prime = B^\prime/ I^n \to B^\prime/ I^{n-1} \to \dots \to B^\prime / I^2 \to B^\prime /I$，则一次提升一步就足够了。因此我们可以简化为 $I^2 = 0$ 的情况。由于 $X$ 是 $k$ 上的有限型，我们可以将 $A$ 写成多项式环 $P = k[x_1,\dots,x_n]$ 模去理想 $J$ 的商。将投影 $P \to A$ 与 $f$ 组合，我们……
设 $B^\prime \to B$ 是 $k$-代数的满射同态，其核 $I$ 平方为零。$$0 \to I \to B^\prime \to B \to 0, I^2=0.$$设 $R \to B$ 是 $k$-代数的同态。如果 $f,g: R \to B^\prime$ 是映射 $R \to B$ 到 $B^\prime$ 的两个提升，那么 $\theta = g-f$ 是 $R$ 到 $I$ 的一个 $k$-导子。反之，如果 $f:R \to B^\prime$ 是一个提升，且 $\theta:R \to I$ 是一个导子，那么 $g = f+\theta$ 是 $R$ 到 $B^\prime$ 的另一个提升给定映射 $R \to B$ 的同态。换句话说，如果不为空，则 $R\to B$ 到 $R$ 到 $B^\prime$ 的 $k$-代数同态的提升集合是在群 $Der_k(R,I) = Hom_R(\Omega{R/k},I)$ 加法作用下的一个主齐性空间。(注意，因为 $I^2 = 0$，$I$ 具有 $B$-模的自然结构，因此也具有 $R$-模的结构。)
假设 $A$ 是正则局部环 $P$ 模去任意理想 $I$ 的商，并假设 $I\subseteq \mathfrak{m}_P^2$。那么我们可以如下构造 $A$ 的所谓“规范”障碍理论。取 $V_A$ 为对偶向量空间 $(I/\mathfrak{m}_P I)^*$。给定定义中的图表，我们总是可以将 $u$ 提升为同态 $f: P \to C^\prime$，因为根据命题 [无穷小提升性质]， $P$ 是正则的：这诱导了一个映射 $\overline{f}: I \to J$，它通过 $I/\mathfrak{m}I$ 分解，因为 $J$ 是一个 $k$-向量空间。这给了我们一个元素 $\varphi\in Hom(I/\mathfrak{m}I,J) \cong V_A\otimes J$。我们需要证明 $\varphi$ 独立于提升 $f$ 的选择。所以设 $f^\prime: P \to C^\prime$ 为另一个提升。那么根据引理 [变形理论引理 4.5]，$f^\prime – f$ 是 $P$ 到 $J$ 的导子。由于 $I\subseteq \mathfrak{m}^2$，随之有 $(f^\prime – f)(I) \subseteq \mathfrak{m}J = 0$。现在条件 (a) 是清楚的：如果 $\varphi(u,C^\prime) = 0$，那么 $f$ 通过 $A$ 分解，因此 $u$ 可以提升。反之，如果 $u$ 可以提升，这给出了一个在 $I$ 上消失的提升 $f^\prime: P \to C^\prime$，所以 $\varphi = 0$。条件 (b) 根据构造是显而易见的。注意在这个例子中，$\dim V_A = \dim (I/\mathfrak{m} I)$，这是 $I$ 的最小生成元数。
设 $A$ 是一个局部环，可以写成正则局部环 $P$ 模去理想 $I\subseteq \mathfrak{m}_P^2$ 的商，并设 $(V,\varphi)$ 为 $A$ 的一个障碍理论。那么存在 $V_A$ 到 $V$ 的自然包含。特别地，$I$ 最多可以由 $\dim V$ 个元素生成。
设 $(A,\mathfrak{m})$ 是一个局部环，可以写成维数为 $n=\dim \mathfrak{m}/ \mathfrak{m}^2$ 的正则局部环 $P$ 的商。如果 $A$ 在向量空间 $V$ 中有一个障碍理论，那么 $\dim A \ge n – \dim V$。此外，如果等号成立，那么 $A$ 是一个局部完全交 (local complete intersection)。