$\text{Pic}^0(X)$ 是 $\text{Pic}(X)$ 的一个子群，它由所有 “代数等价于零” 的线丛组成。$$\text{Pic}^0(X) = \{ \mathcal{L} \in \text{Pic}(X) \mid \mathcal{L} \sim_{\text{alg}} \mathcal{O}_X \}$$
线丛 $\mathcal{L}$ 代数等价于 $\mathcal{O}_X$，意味着存在一个连通的代数簇 $T$（参数空间）和两点 $t_0, t_1 \in T$，以及 $X \times T$ 上的一个线丛 $\mathcal{P}$，使得：$\mathcal{P}|{X \times \{t_0\}} \cong \mathcal{O}_X$, $\mathcal{P}|{X \times \{t_1\}} \cong \mathcal{L}$.
设 $X$ 是一个簇，那么我们定义 NS 群为 $\mathrm{Pic}(X)/ \mathrm{Pic}^0(X)$。
Abel 簇上的 Néron–Severi 群 #
设 $A$ 是一个 Abel 簇。对于 $A$ 上的可逆层 $\mathcal{L}$, 以下等价：
(a) $K(\mathcal{L}) = A$.
(b) 对于任意 $a\in A(k^{al})$, $t_a^* \mathcal{L} \approx \mathcal{L}$
(c) $m^* \mathcal{L} \approx p^* \mathcal{L} \otimes q^* \mathcal{L}$.
(a) $K(\mathcal{L}) = A$.
(b) 对于任意 $a\in A(k^{al})$, $t_a^* \mathcal{L} \approx \mathcal{L}$
(c) $m^* \mathcal{L} \approx p^* \mathcal{L} \otimes q^* \mathcal{L}$.
我们定义 Abel 簇 $A$ 的 $\mathrm{Pic}^0(A)$ 为满足命题 的可逆层同构类构成的群。那么 $A$ 的 Néron–Severi 群定义为 $\mathrm{Pic}(A) / \mathrm{Pic}^0(A)$.
设 $A$ 是一个 Abel 簇。 $NS(A)$ 是一个秩 $\le 4 \cdot \dim(A)^2$ 的自由 $\bbZ$ 模。
参考这个Tate 模(Tate module)的文章，里面证明了对于 Abel 簇 $A,B$, $\mathrm{Hom}(A,B)$ 是秩 $\le \dim A \dim B$ 的自由 $\bbZ$ 模。 $NS(A)$ 中的每个元素 $\mathcal{L}$ 都可以定义一个 $\lambda_\calL:A \to A^\vee$, 因此 $NS(A)$ 的秩肯定 $\le \dim A \dim B$.