设 $\mathcal{L}$ 是 $A$ 上的可逆层，那么我们可以定义以下的态射 $$\lambda_\mathcal{L}:A(k) \to \mathrm{Pic}(A), a \mapsto t_a^* \mathcal{L} \otimes \mathcal{L}^{-1}.$$
设 $m:A \times A \to A, (a,b) \mapsto a+b$, $p: A \times A \to A, (a,b) \mapsto a$.
我们来考虑 $A\times A$ 上的层 $m^* \mathcal{L} \otimes p^* \mathcal{L}^{-1}$. 我们有以下 family of invertible sheaves on $A$ parametrized by $A$. $$K(\mathcal{L}) : = \{a\in A: m^* \mathcal{L} \otimes p^* \mathcal{L}^{-1}|_{A\times \{a\}} \ \text{ is trivial} \ \}.$$ 这是 $A$ 的一个闭子集。也有等价的定义 $$K(\mathcal{L}) : = \{ a\in A(k): \lambda_\mathcal{L}(a) = 0 \}.$$
设 $\mathcal{L}$ 是 $A$ 上的可逆层，并且 $\Gamma(A,\mathcal{L})\neq 0$, 那么 $\mathcal{L}$ 是 ample 的当且仅当 $K(\mathcal{L})$ 的维数为 $0$.
对于一条曲线 $C$, 我们定义 $\mathrm{Pic}^0(C)$ 为 $\mathrm{Pic}(C)$ 中次数为 $0$ 的除子类。
对于一个 Abel 簇，我们定义 $\mathrm{Pic}^0(C)$ 为所有满足 $\lambda_\mathcal{L} = 0$ 的除子类构成的子群。
对于 $A$ 上的可逆层 $\mathcal{L}$, 以下等价：
(a) $K(\mathcal{L}) = A$.
(b) 对于任意 $a\in A(k^{al})$, $t_a^* \mathcal{L} \approx \mathcal{L}$
(c) $m^* \mathcal{L} \approx p^* \mathcal{L} \otimes q^* \mathcal{L}$.
(a) $K(\mathcal{L}) = A$.
(b) 对于任意 $a\in A(k^{al})$, $t_a^* \mathcal{L} \approx \mathcal{L}$
(c) $m^* \mathcal{L} \approx p^* \mathcal{L} \otimes q^* \mathcal{L}$.
考虑 $(A^\vee,\calP)$, 其中 $A^\vee$ 是 $k$ 上的代数簇， $\calP$ 是 $A\times A^\vee$ 上的可逆层。假设
(a) 对于所有 $b\in A^\vee$, 有 $\calP|_{A\times \{b\}} \in \mathrm{Pic}^0(A_b)$，
(b) $\calP|_{\{0\} \times A^\vee}$ 是平凡的。
如果 $(A^\vee,\calP)$ 满足以下泛性质：
对任意 $(T,\calL)$, 其中 $\calL$ 是 $A \times T$ 上的可逆层满足
(a’) 对所有 $t\in T$, 有 $\calL|_{A \times \{t\}} \in \mathrm{Pic}^0(A_t)$,
(b’) $\calL|_{\{0\} \times T}$ 是平凡的。
那么就会有唯一的正则映射 $\alpha : T\ to A$ 使得 $(1 \times \alpha )^* \calP \approx \calL$.
我们称 $A^\vee$ 是 $A$ 的对偶 Abel 簇，$\calP$ 称为 Poincaré 层。
(a) 对于所有 $b\in A^\vee$, 有 $\calP|_{A\times \{b\}} \in \mathrm{Pic}^0(A_b)$，
(b) $\calP|_{\{0\} \times A^\vee}$ 是平凡的。
如果 $(A^\vee,\calP)$ 满足以下泛性质：
对任意 $(T,\calL)$, 其中 $\calL$ 是 $A \times T$ 上的可逆层满足
(a’) 对所有 $t\in T$, 有 $\calL|_{A \times \{t\}} \in \mathrm{Pic}^0(A_t)$,
(b’) $\calL|_{\{0\} \times T}$ 是平凡的。
那么就会有唯一的正则映射 $\alpha : T\ to A$ 使得 $(1 \times \alpha )^* \calP \approx \calL$.
我们称 $A^\vee$ 是 $A$ 的对偶 Abel 簇，$\calP$ 称为 Poincaré 层。
根据泛性质，我们可以知道对偶 Abel 簇和 Poincaré 层如果存在，则唯一。
对于 $A$ 上任意可逆层和任意 $a\in A(k)$, $$t_a^* \mathcal{L} \otimes \mathcal{L}^{-1} \in \mathrm{Pic}^0(A)$$
一个 $A\times B$ 上的可逆层 $\mathcal{L}$ 如果限制在 $\{0\} \times B$ 和 $A \times \{0\}$ 上是平凡的，那么称 $\mathcal{L}$ 是两个 Abel 簇的 divisorial correspondence.
设 $s: A \times B \to B \times A, (a,b) \mapsto (b,a)$ 是交换映射。那么如果 $\mathcal{L}$ 是 $A$ 和 $B$ 的 divisorial correspondence, 那么 $s^* \mathcal{L}$ 是 $B$ 和 $A$ 的 divisorial correspondence.
设 $\mathcal{L}$ 是一个 $A$ 和 $B$ 之间的一个 divisorial correspondence。那么以下等价
(a) $(B,\mathcal{L})$ 是 $A$ 的对偶。
(b) $\mathcal{L}|_{A \times \{b\}}$ 是平凡的 $\implies$ $b =0$.
(c) $\mathcal{L}|_{\{a\} \times B}$ 是平凡的 $\implies a =0$.
(b) $(A,s^* \mathcal{L})$ 是 $B$ 的对偶。
(a) $(B,\mathcal{L})$ 是 $A$ 的对偶。
(b) $\mathcal{L}|_{A \times \{b\}}$ 是平凡的 $\implies$ $b =0$.
(c) $\mathcal{L}|_{\{a\} \times B}$ 是平凡的 $\implies a =0$.
(b) $(A,s^* \mathcal{L})$ 是 $B$ 的对偶。