设 $f:X \to Y$ 是 relative 维数为 $n$ 的平坦态射。
设 $f: X \to Y$ 是平坦的，那么对于任意 $Y$ 的子概形 $Z$, 有 $$f^*[Z] = [f^{-1}(Z)].$$
设 $f:X \to Y ,g:Y \to Z$ 都是平坦态射，设 $V$ 是 $Z$ 的子簇。那么我们有 $$(gf)^*[V] = f^* g^*[V].$$
设
是纤维积， $g$ 是平坦的， $f$ 是 proper 的。那么 $g’$ 也是平坦的， $f’$ 是 proper 的，并且对于所有 $\alpha \in Z_* X$, 有 $$f’_*f’^* \alpha = g^*f_* \alpha$$ 是 $Z_* Y’$ 中的元素。
是纤维积， $g$ 是平坦的， $f$ 是 proper 的。那么 $g’$ 也是平坦的， $f’$ 是 proper 的，并且对于所有 $\alpha \in Z_* X$, 有 $$f’_*f’^* \alpha = g^*f_* \alpha$$ 是 $Z_* Y’$ 中的元素。
设 $f:X \to Y$ 是一个相对维数为 $n$ 的平坦态射。设 $\alpha$ 是 $Y$ 中的一个有理等价于 $0$ 的 $k$-圈。那么 $f^*\alpha$ 在 $X$ 中有理等价于 $0$.
我们由此可以看到对于平坦态射 $f:X \to Y$, $A_*:X \to A_*X$ 是一个逆变函子。