设 $f:X \to Y$ 是 proper 态射。
设 $V$ 是 $X$ 的子簇，那么 $W=f(V)$ 是 $Y$ 的闭子簇。我们定义 $$\deg(V/W) = \begin{cases} [R(V):R(W)] &, \dim W = \dim V\\ 0 & ,\dim W < \dim V. \end{cases}$$
我们定义 $$f_*[V] = \deg (V/W)[W]$$。这个映射可以线性的扩张成 $f_*:Z_kX\to Z_kY$.
设 $f:X \to Y$ 是一个 proper 态射，并且 $\alpha$ 是一个$X$ 上的有理等价于 $0$ 的 $k$-圈，那么 $f_*\alpha$ 在 $Y$ 上也有理等价于 $0$.
设 $f:X \to Y$ 是一个 proper, surjective 态射并且设 $r\in R(X)^*$. 那么
(a) 如果 $\dim Y <\dim X$, $f_*[\mathrm{div}(r)] =0$,
(b) 如果 $\dim Y = \dim X$, $f_*[\mathrm{div}(r)] = [\mathrm{div}(N(r)]$.
(a) 如果 $\dim Y <\dim X$, $f_*[\mathrm{div}(r)] =0$,
(b) 如果 $\dim Y = \dim X$, $f_*[\mathrm{div}(r)] = [\mathrm{div}(N(r)]$.
$R(X)$ 是 $R(Y)$ 的有限扩张， $N(r)$ 是 $r$ 的范数。这是代数数论经常遇到的概念。$R(X)$ 上的 $R(Y)$ 线性映射 $t\mapsto rt$ 的矩阵的行列式。
如果 $X$ 是一个完备概形（complete scheme），即 $X$ 在 $S = \operatorname{Spec}(K)$ 上是真（proper）的（其中 $K$ 是基域），并且 $\alpha = \sum_P n_P [P]$ 是 $X$ 上的一个 0-闭链（zero-cycle），那么 $\alpha$ 的 次数（degree，记作 $\deg(\alpha)$ 或 $\int_X \alpha$）定义为：$$\deg(\alpha) = \int_X \alpha = \sum_P n_P [R(P) : K].$$等价地，$\deg(\alpha) = p_*(\alpha)$，其中 $p$ 是从 $X$ 到 $S$ 的结构态射，且我们将 $A_0 S = \mathbb{Z}[S]$ 视为 $\mathbb{Z}$。根据定理，有理等价（rationally equivalent）的闭链具有相同的次数。我们将次数同态推广到整个 $A_ *X$，$$\int_X : A_* X \to \mathbb{Z}$$定义方式为：如果 $\alpha \in A_k X$ 且 $k > 0$，则令 $\int_X \alpha = 0$。对于任意完备概形间的态射 $f: X \to Y$，以及任意 $\alpha \in A_* X$，有$$\int_X \alpha = \int_Y f_*(\alpha),$$这是函子性（functoriality）的一个特例。我们通常用 $\int$ 来代替 $\int_X$。
如果 $F$ 和 $G$ 是次数分别为 $m, n$ 的射影平面曲线，且没有公共分量，那么$$\sum_{P \in \mathbb{P}^2} i(P, F \cdot G) = m \cdot n.$$（我们可以假设 $F$ 是不可约的。如果 $G$ 和 $G’$ 的次数均为 $n$，那么 $G/G’$ 在曲线 $F$ 上定义了一个有理函数 $r$，并且$$\sum i(P, F \cdot G) – \sum i(P, F \cdot G’) = \sum \operatorname{ord}_P(r) = 0.$$取 $G’ = L^n$ 其中 $L$ 为线性形式，可以将问题归结为 $G$ 是线性的情况。类似地，我们可以进一步归结为 $F$ 也是线性的情况。）
$X$ 是可分的，这个条件不能去。如果 $X$ 是通过将两份 $\mathbb{P}^1_k$ 除了在 $(1:0)$ 处以外全部粘合而构造出来的，并且 $f$ 是从 $X$ 到 $\operatorname{Spec}(K)$ 的投影，且 $r = x_1/x_0$，那么$$f_*[\operatorname{div}(r)] \neq 0.$$