关于 Cube 的定理

设 $U,V,W$ 是 complete geometrically irreducible 的簇 over $k$, 设 $u_0 \in U(K),v_0 \in V(k),w_0\in W(k)$ 是 base points. 那么在 $U \times V \times W$ 上的可逆层 $\mathcal{L}$ 是平凡的当且仅当它的限制到$$U\times V \times{w_0}, U \times {v_0} \times W , {u_0}\times V \times W$$都是平凡的。

对任意 Abel 簇 $A$ 上的可逆层 $\mathcal{L}$, 以下 $A \times A \times A$ 上的层$$p_{123}^* \mathcal{L} \otimes p_{12}^* \mathcal{L}^{-1} \otimes p_{23}^* \mathcal{L}^{-1}\otimes p_{23}^* \mathcal{L}^{-1} \otimes p_1^* \mathcal{L} \otimes p_2^* \mathcal{L} \otimes p_3^* \mathcal{L}$$ 都是平凡的。

利用定理 .

设 $f,g,h:V \to A$ 其中 $V$ 时一个簇，$A$ 是一个 Abel 簇。那么对于 $A$ 上的任意一个可逆层 $\mathcal{L}$ 有

(f + g + h)^*\mathcal{L} \otimes (f + g)^*\mathcal{L}^{-1} \otimes (g + h)^*\mathcal{L}^{-1} \otimes (f + h)^*\mathcal{L}^{-1} \otimes f^*\mathcal{L} \otimes g^*\mathcal{L} \otimes h^*\mathcal{L}

是平凡的。

对于 Abel 簇 $A$ 上的所有可逆层 $\mathcal{L}$, $$n_A^* \mathcal{L} \approx \mathcal{L}^{(n^2+n)/2} \otimes (-1)_A^*\mathcal{L}^{(n^2-n)/2}.$$ 特别的，$$n_A^* \mathcal{L} \approx \begin{cases}\mathcal{L}^{n^2} &, (-1)_A^* \mathcal{L} \approx \mathcal{L} \\\\ \mathcal{L}^n &, (-1)_A^* \mathcal{L} \approx \mathcal{L}^{-1}\end{cases}$$

利用一下推论 , 我们得到 $$n_A^* \mathcal{L} \otimes (n+1)_A^* \mathcal{L}^{-1} \otimes (n-1)_A^* \mathcal{L}^{-1} \otimes n_A^* \mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \otimes (-1)_A^* \mathcal{L}$$ 是平凡的。这也就是说 $$(n+1)_A^* \mathcal{L} \approx n_A^* \mathcal{L}^2 \otimes (n-1)_A^* \mathcal{L}^{-1} \otimes \mathcal{L} \otimes (-1)_A^* \mathcal{L} \quad (2).$$ 有了这个地推公式就可以归纳的去求出 $n_A^* \mathcal{L}$ 的公式了。

对于 $A$ 上所有可逆层 $\mathcal{L}$ 和点 $a,b \in A(k)$, 都有 $$t_{a+b}^* \mathcal{L} \otimes \mathcal{L} \approx t_a^* \mathcal{L} \otimes t_b^* \mathcal{L}.$$ 其中这个 $t_a(x) = x+a$.

利用一下推论 .

根据定理显然有如果 $a_1 + \dots + a_n =0$, 那么 $$t_{a_1}^* \calL \otimes \dots \otimes t_{a_n}^* \calL \approx \calL^n$$

Lunifans