设 $(X,\alpha)$ 是一个扭转光滑射影簇 over 一个代数闭域 $k = \overline{k}$ 并且 $\alpha \in Br(X[n]) = \rmHom(X[n],\bbG_m)$.
设 $\{\alpha_{ijk}\}_{i,j,k \in I}$ 是一个 Čech 的 2阶 cocycle representing $\alpha \in H^2(X,\bbG_m)$, 对应着 étale 覆盖 $\{U_i\}_{i\in I}$ of $X$. 一个 $\alpha$- twisted coherent sheaf on $X$ 是由以下资料构成：
- $U_i$ 上的凝聚层 $\scrF_i$
- 同构 $\theta_{ij} : \scrF_j|_{U_{ij}} \xrightarrow{\sim} \scrF_i|_{U_{ij}}$
满足以下三条性质：
- $\theta_{ii} = \text{id}_{\scrF_i}$.
- $\theta_{ji} = \theta_{ij}^{-1}$
- $\theta_{ki} \circ \theta_{ij} \circ \theta_{jk} = \alpha_{ijk} \cdot \text{id}_{\scrF_k|_{U_{ijk}}}$.
$X$ 上所有 $\alpha$ 扭转层构成一个范畴，记为 $\text{Coh}(X,\alpha)$, 其有界导出范畴记为 $D^b(X,\alpha)$.
我们在 untwisted derived category $D^b(X)$, 有以下自然的嵌入
$$ X \times \hat{X} \hookrightarrow Aut(D^b(X)), (x,\xi) \mapsto t_{x*}(-) \otimes \scrP_{\xi}.$$
我们也类似的去构造 $D^b(X,\alpha)$ 的类似的嵌入。
对于任意 $z = [(y,\xi)] \in A_{(X,\alpha)}$, 我们定义
$$\Phi_z \in Aut(D^b(X,\alpha))$$
为自等价使得下图交换
映射 $z=(y,\xi) \mapsto \Phi_z$ 定义了一个单同态
$$ A_{(X,\alpha)} \hookrightarrow Aut(D^b(X,\alpha)).$$
扭转 Orlov’s 等价
扭转 Orlov’s 函子是以下函子的复合
$$\Xi_{X,\alpha} : D^b(A,q^* \alpha) \xrightarrow{(\text{id} \times \Phi_\scrP)_G}$$
任务优先