设 $A$ 是域 $k$ 上的椭圆曲线，$k$ 的特征不整除整数 $m$。那么我们就有这样的典范对 $$A(k^{al})_m \times A(k^{al})_m \to \mu_m(k^{al}),$$ 其中 $\mu_m(k^{al})$ 是 $k^{al}$ 中 $1$ 的 $m$ 次单位根。
椭圆曲线的挠点
参考nlab[1]
椭圆曲线 $\iff$ 一维 Abel 簇
设 $E$ 是域 $F$ 上的椭圆曲线，设 $l\ge 2$ 是一个整数。一个$E$ 上的 $l$-挠点 $x$ 是 $X$ 上的一个点 $x$ 满足 $lx = 0$, 即 $\underbrace{x+ \dots +x}_l = 0$.
$l\ge 2$, 那么 $E$ 上所有 $l$- 挠点构成 $E$ 的一个 Abel 子群，记为 $E[l]$。
设 $E$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线。那么对于任意 $l \ge 2$ 存在一个 Abel 群的同构 $$E[l] \cong \mathbb{Z}/l \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/ l\mathbb{Z}.$$
如果 $l$ 是素数，那么 $\mathbb{Z}/l\mathbb{Z}$ 就是一个域，$E[l]$ 就是一个 $2$ 维的向量空间。此时 $E[l]$ 的自同构群就是 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/l\mathbb{Z})$.
椭圆曲线上的 Weil 配对
设 $E$ 是域 $F$ 上的椭圆曲线。设 $l \ge 2$, 那么我们取点 $P,Q \in E[l]$。我们取 $F$ 满足以下条件 $$ \mathrm{div}(F) = \sum_{k=0}^{n-1} [P+ k Q] – \sum_{k=0}^{n-1}[kQ].$$
我们定义 $G= F(x+Q)$. 那么我们定义 $P,Q$ 的 Weil 除子为 $$w(P,Q) : = \frac{G}{F}.$$ 这个 $w: E[l] \times E[l] \to \mu_l$ 是从 $E[l] \times E[l] $ 到 $\mu_l$ 的映射，其中 $\mu_l = \{x\in F: x^l =1\}$.
Abel 簇上的 Weil 配对
对于代数闭域 $K$ 上的 Abel 簇， Weil 配对是如下的非退化配对：$$A[n] \times A^\vee[n] \to \mu_n$$ 对于所有的与 $K$ 的特征互素的 $n$.
如果我们固定 $A$ 上的一个极化 $\lambda : A \to A^\vee$, 那么我们得到一个新的配对（可能是退化的） $$A[n]\times A[n] \to \mu_n.$$
设 $m$ 和 $n$ 是不被 $K$ 的特征整除的整数。那么对于任意 $a\in A[mn],a’ \in A^\vee[mn]$, 有 $$e_{mn}(a,a’)^n = e_m(na,na’).$$
参考文献
不错呦！