前言
这是本人在读 Orlov 的 论文《DERIVED CATEGORIES OF COHERENT SHEAVES ON ABELIAN VARIETIES AND EQUIVALENCES BETWEEN THEM》所记录的笔记。
预备知识
设 $X$ 是域 $k$ 上的代数簇，并且它的结构层设为 $\calO_X$. 对于任意簇我们知道其上的凝聚层构成的范畴是 Abel 范畴，记为 $\text{Coh}(X)$.
我们用 $D^b(X)$ 来表示 $\text{Coh}(X)$ 的有界导出范畴。
以后我们直接称 $D^b(X)$ 为 $X$ 的有界导出范畴。
设 $\calD$ 是加性范畴。$\calD$ 上的三角范畴结构为
(a) 加性自态射 $T: \calD \to \calD$, 称为平移函子。我们记 $X[n]:=T^n(X), f[n]: = T^n(f)$. 三角定义为以下一组对象和态射 $$ X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1]. $$ 不要求其为复形。三角之间的态射定义为使下图交换的 $(f,g,h,f[1])$
如果 $f,g,h,f[1]$ 都是同构，则称这两个三角同构。
(b) 一类好三角
并且要求满足以下四个条件：
(TR1) (a) $X\xrightarrow{\text{id}}X \to 0 \to X[1]$ 是好三角。(b) 同构于好三角的三角是好三角。(c) 任意态射 $X \xrightarrow{u} Y$ 都可以补成一个好三角 $$ X \xrightarrow{u}Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1]. $$
(TR2) 一个三角 $$ X \xrightarrow{u}Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1] $$ 是好三角当且仅当 $$ Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1] \xrightarrow{- u[1]} Y[1]$$ 是好三角。
(TR3) 如果我们有下图交换
那么存在态射 $h:Z \to Z’$ 使得下图交换（即构成三角的态射）
(TR4) 八面体图是如下两个图
并且满足条件 $$ Y \to Z \to Y’ $$ $$ Y \to Z’ \to Y’ $$ 这两个态射相同 $$ Y’ \to X’ \to Y $$ $$ Y’ \to X \to Y $$ 这两个态射相同。(TR4) 是如果我们有一个 upper cap 图，那么我们就可以补全整个八面体图。
设 $F: \calD \to \calD’$ 是两个三角范畴之间的函子。如果
(1) $F$ 和平移函子 $T$ 交换。
(2) $F$ 将 $\calD$ 中的好三角映射到 $\calD’$ 中的好三角。
则称 $F$ 是三角范畴间的正合函子。（需要和我们之前接触的范畴间正合函子区分一下）。
我们下文提到的正合也都按照三角范畴意义下的正合。
所有导出范畴都具有三角范畴的结构。
假设所有簇都是光滑和射影的。任意光滑簇都可以诱导以下两个正合函子
$$ \begin{aligned}R^\bullet f_* : D^b(X) \to D^b(Y)\\L^\bullet f^*:D^b(Y) \to D^b(X) \end{aligned} $$
并且对于任意 $\calF \in D^b(X)$, 我们还可以定义 tensor product 的正合函子如下
$$ \bigotimes_{}^{L} \calF : D^b(X) \to D^b(X) $$
设 $X,Y$ 是域 $k$ 上的光滑射影簇。那么我们有以下交换图
设 $\calE \in D^b(X \times Y)$, 我们定义
$$ \begin{aligned} \Phi_\calE: D^b(X) &\to D^b(Y) \\ \calH & \mapsto R^\bullet q_*(\calE \otimes^L p^*\calH).\end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \Psi_\calE: D^b(Y) &\to D^b(X) \\ \calH & \mapsto R^\bullet p_*(\calE \otimes^L q^*\calH).\end{aligned} $$
$\Phi_\calE$ 的左伴随是
$$ \Psi_\calE^* \cong \Psi_{\calE^\vee \otimes q^* \omega_Y[\dim Y]}. $$
$\Phi_\calE$ 的右伴随是
$$ \Phi^!\cong \Psi_{\calE^\vee \otimes p^*\omega_Y[\dim X]}. $$
其中 $\omega_X,\omega_Y$ 分别是 $X,Y$ 的典范层， $\calE^\vee := R^\bullet \calH om(\calE,\calO_{X\times Y})$.
证明用到了 Grothedieck 对偶，张量积和 Hom 的对偶，Serre 对偶。
设 $X,Y,Z$ 是三个光滑射影簇。设 $\calE\in D^b(X\times Y),\calF \in D^b(Y\times Z),\calG\in D^b(X \times Z)$.
我们有以下图
我们定义 $$ \calE \boxtimes_Y \calF: = p_{12}^* \calE \otimes p_{23}^*\calF\in D^b(X \times Y \times Z)$$
设 $\calE \in D^b(X\times Y), \calF \in D^b(Y\times Z)$, 设
$$ \calG = R^\bullet p_{13*}(\calE \boxtimes_Y \calF). $$
那么我们有以下同构
$$ \Phi_\calF \circ \Phi_\calE \cong \Phi_\calG. $$
注意到其实 $\Phi_\calE$ 和 $\Psi_\calE$ 的区别并不是很大，所以上面的复合同构稍加修改就能用在 $\Psi_\calE$ 上。
设 $\calE \in D^b(X \times Y), \calG \in D^b(X\times Z)$. 那么我们有以下同构
$$ \Phi_\calG \circ \Psi_\calE \cong \Phi_{R^\bullet p_{23*}(\calE \boxtimes_X \calG)}. $$
(1) 两个光滑射影簇的有界导出范畴什么时候作为三角范畴是等价的？
(2) 给定光滑射影簇 $X$, $X$ 的有界导出范畴的正合自等价群是什么样的？
设 $X$ 是一个光滑射影簇，并且典范层是丰沛的。假设存在代数簇 $X’$ 使得 $D^b(X’)$ 和 $D^b(X)$ 范畴等价，那么 $X’$ 和 $X$ 是同构的。
设 $X$ 是光滑射影簇，并且典范层是丰沛的。那么 $D^b(X)$ 的正合自等价群由以下生成
(1) 簇的自态射
(2) 线丛的 twists.
(3) 导出范畴的 shifts.
我们接下来描述一下 $D^b(X)$ 的正合自等价群。
设 $X$ 是一个光滑射影簇并且典范层是丰沛的。那么 $D^b(X)$ 的正合自等价群
$$ \text{Auteq}\ D^b(X) \cong \text{Aut} \ X \ltimes (\text{Pic} (X) \oplus \bbZ). $$
设 $X,Y$ 是光滑射影簇。假设 $F:D^b(X) \xrightarrow{\sim} D^b(Y)$ 是三角范畴间的正合等价函子。那么存在唯一（up to isomorphism）的对象 $\calE \in D^b(X\times Y)$ 使得
$$ F \cong \Phi_\calE. $$
设 $M,X$ 是特征为 $0$ 的代数闭域上的两个光滑射影簇。设 $\calE \in D^b(M \times X)$. 那么 $\Phi_\calE$ 是全忠实的当且仅当一下正交条件成立
(1) 对于任意 $i$ 和 $t_1 \neq t_2$, $\rmHom_X^i(\Phi_\calE(\calO_{t_1}),\Phi_\calE(\calO_{t_2}))=0$.
(2) $\rmHom_X^0(\Phi_\calE(\calO_t),\Phi_\calE(\calO_t)) =k$.
(3) 对于 $i\notin [0,\dim X]$, $\rmHom_X^i(\Phi_\calE(\calO_t),\Phi_\calE(\calO_t)) =0$.
其中 $t,t_1,t_2\in M$, 其中 $\calO_{t_i}$ 是摩天大楼层。也就是说
$$\calO_{t_i}(U) =\begin{cases} \calO_{t_i} &, t_i\in U\\ \{0\} &,t_i \notin U.\end{cases} $$
设 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 是光滑射影簇。我们考虑 $\calE_1 \in D^b(X_1 \times Y_1),\calE_2 \in D^b(X_2 \times Y_2)$.
我们定义 $$ \calE_1 \boxtimes\calE_2 : = p_{13}^*\calE_1 \otimes p_{24}^*\calE_2\in D^b((X_1\times X_2) \times (Y_1 \times Y_2) .$$
考虑 $\calG \in D^b(X_1 \times X_2)$ 并且我们记
$$ \calH:= \Phi_{\calE_1 \boxtimes \calE_2}(\calG) \in D^b(Y_1 \times Y_2). $$
那么我们得到以下两个函子 $$ \begin{aligned}\Phi_\calG: D^b(X_1) \to D^b(X_2) \\ \Phi_\calH: D^b(Y_1) \to D^b(Y_2). \end{aligned}$$
我们有函子的同构 $$ \Phi_\calH \cong \Phi_{\calE_2} \circ \Phi_{\calG} \circ \Psi_{\calE_1}. $$
设 $Z_1,Z_2$ 是两个光滑射影簇。设 $\calF_1 \in D^b(Y_1 \times Z_1), \calF_2 \in D^b(Y_2 \times Z_2)$. 那么根据命题 , 可知存在 $\calG_1 \in D^b(X_1 \times Z_1),\calG_2 \in D^b(X_2 \times Z_2)$, 使得 $$ \begin{aligned} \Phi_{\calG_1} \cong \Phi_{\calF_1} \circ \Phi_{\calE_1}\\ \Phi_{\calG_2} \cong \Phi_{\calF_2} \circ \Phi_{\calE_2}\end{aligned} $$
我们有以下的同构
$$\Phi_{\calF_1 \boxtimes \calF_2} \circ \Phi_{\calE_1\boxtimes \calE_2} \cong \Phi_{\calG_1 \boxtimes \calG_2}.$$
假设 $\Phi_{\calE_1}$ 和 $\Phi_{\calE_2}$ 都是全忠实的（范畴等价），那么函子
$$ \Phi_{\calE_1 \boxtimes \calE_2}: D^b(X_1 \times X_2) \to D^b(Y_1\times Y_2) $$ 也是全忠实的（范畴等价）。
设 $\calE \in D^b(X\times Y)$, 且 $\Phi_\calE: D^b(X) \to D^b(Y)$ 是一个范畴等价。设 $\calF \in D^b(X \times Y)$ 满足 $\Psi_\calF \cong \Phi_\calE^{-1}$. 那么我们定义
$$ \text{Ad}_\calE : = \Phi_{\calF \boxtimes \calE} : D^b(X \times X) \to D^b(Y \times Y). $$
根据定理 , $\text{Ad}_\calE$ 是一个范畴等价。
根据引理 , 对于任意 $\calG \in D^b(X \times X)$, 有以下同构
$$ \Phi_{\text{Ad}_\calE(\calG)} =\Phi_\calE \circ \Phi_\calG \circ \Phi_\calE^{-1}. $$
Abel 簇上的导出范畴等价
参考对偶 Abel 簇：对偶 Abel 簇 – 任务优先
设 $A$ 是域 $k$ 上的一个 Abel 簇，$(\hat{A},P)$ 是对应的对偶 Abel 簇和 Poincaré 线丛, $P$ 是 $A \times \hat{A}$ 上的线丛。设 $\alpha$ 是 $\hat{A}$ 上的 $k$-point. 我们记
$$ P_\alpha: = P|_{A \times \{\alpha\}} \in Pic^0(A) .$$
设 $(\alpha_1,\dots, \alpha_n)$ 是 $\hat{A_1}\times \dots \times \hat{A_n}$ 上的一个$k$-point, 所以我们有 $P_{\alpha_i} \in Pic^0(A_i)$. 我们定义 $$ P_{(\alpha_1,\dots, \alpha_n)}:= P_{\alpha_1} \boxtimes P_{\alpha_2} \boxtimes \dots \boxtimes P_{\alpha_n} $$ 这是 $A_1 \times \dots \times A_n$ 上的线丛。
设 $f:A \to B$ 是 Abel 簇间的同态。我们可以如下定义对偶同态
$$ \begin{aligned} \hat{f} : \hat{B} &\to \hat{A} \\ \hat{\beta} & \mapsto \hat{\alpha}\end{aligned} $$
需要满足 $f^*P_\beta = P_\alpha$.
考虑 $f: A \to \hat{A}$,那么 $\hat{f}: \hat{\hat{A}} \to \hat{A}$. 因为我们有 $\kappa:\text{Id} \xrightarrow{\sim} \hat{\hat{\ }}$, 所以我们得到对偶同态 $$ \hat{f}: A \to \hat{A} $$
设 $f$ 对应矩阵 $F$, $\hat{f}$ 对应矩阵为 $\hat{F}$. 那么有 $$ \hat{F} = -F^t. $$
设有下图
设 $P$ 是 $A \times \hat{A}$ 上的 Poincaré 线丛。那么根据 , 可知
$$ \Phi_P(\cdot) = R^\bullet q_*(P \otimes p^*(\cdot)) $$
$$ \Psi_P(\cdot) = R^\bullet p_*(P \otimes q^*(\cdot)) $$
设 $P$ 是 $A \times \hat{A}$ 上的 Poincaré 丛，那么 $\Phi_P: D^b(A) \to D^b(\hat{A})$ 是正合范畴等价，并且存在函子间的同构 $$ \Psi_P \circ \Phi_P \cong (-1_A)^*[n] $$
其中 $(-1_A)$ 是 Abel 簇 $A$ 上的群逆映射。
设 $(a,\alpha)$ 是 $A \times \hat{A}$ 上的 $k$-point, 那么我们定义
$$ \begin{aligned} \Phi_{(a,\alpha)} : D^b(A) &\to D^b(A) \\ \calH &\mapsto T_{a*}(\calH) \otimes P_\alpha = T_{-a}^*(\calH) \otimes P_\alpha \end{aligned} $$
设 $\Phi_{(a,\alpha)}$ 如上定义，那么我们有
$$ \Phi_{S(a,\alpha)} \cong \Phi_{(a,\alpha)} $$ 其中 $S(a,\alpha) = \calO_{\Gamma_a} \otimes p_2^*(P_\alpha)$ 是 $A \times \hat{A}$ 上的层，$\Gamma_a$ 是 $T_a$ 的图，即 $\Gamma_a :=\{(t,a+t): t\in A\}$.
$\Phi_{S(a,\alpha)}: D^b(A) \to D^b(A)$ 是自等价。
设我们有下图
我们记 $\Delta=\{(a,a): a\in A\}$.
设 $\calP_A = p_{14}^*\calO_\Delta \otimes p_{23}^* P\in D^b((A \times \hat{A} ) \times (A \times A))$.
我们定义 $\mu_A: A \times A \to A\times A, (a_1,a_2) \mapsto (a_1, m(a_1,a_2))$.
我们定义 $$ \Phi_{S_A} = R^\bullet \mu_{A*} \circ \Phi_{\calP_A} $$
$\Phi_{\calP_A} = \Phi_{\calO_\Delta \boxtimes P}:D^b(A \times \hat{A}) \to D^b(A \times A)$ 根据 是范畴等价。
$S_A = (m\circ p_{13},p_4)^* \calO_\Delta\otimes p_{23}^* P_A$, 其中 $(m\circ p_{13}, p_4)(a_1, \alpha, a_3,a_4) =(m(a_1,a_3), a_4)$.
这个具体的 $S_A$ 后面没有用到。
$\Phi_{S_A}$ 是范畴等价，并且对于任意 $k$-point $(a,\alpha)\in A \times \hat{A}$,
(a) $\Phi_{S_A}$ 将 the structure sheaf $\calO_(a,\alpha)$ of the point 映射到了 $S_{(a,\alpha)}$.
(b) $\Phi_{S_A}$ 将 $A\times \hat{A}$ 上的线丛 $P_{(\alpha,a)}$ 映射到 $\calO_{\{-a\} \times A} \otimes p_2^*P_\alpha [n]$.
设 $X$ 是一个光滑簇， $\scrF$ 是 $X$ 上的凝聚层。假设我们有闭子簇 $j:Z \hookrightarrow \overline{X}$ 和 $Z$ 上的可逆层 $\calL$ 使得
$$ \overline{F}\cong j_*\scrL. $$
那么我们可以找到一个闭子簇 $i:Y\hookrightarrow X$ 和 $Y$ 上的可逆层 $\calM$ 使得
$$ \scrF \cong i_* \calM $$ 和 $j=\overline{i}$.
任务优先
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