Abel 簇是射影的

设 $D_0$ 是线性系 $\mathfrak{d}$ 的一个除子。设 $f_0,\dots,f_n$ 是 $L(D_0)$ 的一组基。那么就有如下的 rational map $$\begin{aligned}V &\dashrightarrow \mathbb{P}^n \\\\ P &\mapsto (f_0(P),\dots, f_n(P)).\end{aligned}$$ 这个有理映射定义在一个开集 $V$ 上。

我们根据 $\mathfrak{d}$ 定义的有理映射 $V \dashrightarrow \mathbb{P}^n$ 在 $P$ 点有定义当且仅当 $P$ 不是 $\mathfrak{d}$ 的基点。

假设 $P$ 不是 $\mathfrak{d}$ 的基点，并令 $D_0$ 为 $\mathfrak{d}$ 中使得 $P \notin \text{Supp}(D_0)$ 的一个元素。令 $f_0, \dots, f_n$ 为 $L(D_0)$ 的一组基。因为 $\mathfrak{d}$ 没有固定除子，对于某个 $D_i \ge 0$，$\text{div}(f_i/f_0) = D_i – D_0$。因为 $P \notin \text{Supp}(D_0)$，没有 $f_i/f_0$ 会在 $P$ 点有极点，所以映射 $P \mapsto (\frac{f_1}{f_0}(P) : \dots : \frac{f_n}{f_0}(P))$ 在 $P$ 点是良定义的。

(a)一个线性系 $\mathfrak{d}$ 称为 separate points 的，如果对于任何一对点 $P,Q\in V$, 都存在 $D \in \mathfrak{d}$ 使得 $$P \in \mathrm{Supp}(D), Q \not\in \mathrm{Supp}(D).$$(b) 一个线性系 $\mathfrak{d}$ 称为 separate tangent directions，如果对于任意 $P\in V$ 和非零切向量 $t$ to $V$ at $P$，存在一个除子 $D\in \mathfrak{d}$ 使得 $P\in D$ 但是 $t\not\in \mathrm{Tgt}_P(D)$.

假设 $\mathfrak{d}$ 没有基点。那么它对应的有理映射 $\varphi:V \to \mathbb{P}^n$ 是 closed immersion 当且仅当 $\mathfrak{d}$ 是 separateds points 和 separates tangent directions 的。

任意 Abel 簇 $A$ 都是射影的。

设 $V$ 是一个光滑的 complete 簇，一个除子称为 very ample, 如果它的完全线性系定义了一个 closed immersion of $V$ into $\mathbb{P}^n$. 一个除子 $D$ 称为 ample 的，如果存在 $n>0$, 使得 $nD$ 是 very ample 的。

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