前言
参考 GTM52 II3.3
基本概念
定义：概形间的态射 $f:X\to Y$ 称为单射/ 满射/ 双射/ 开映射/ 闭映射/ 同胚，如果 $f$ 作为拓扑空间中的态射是单射/ 满射/ 双射/ 开映射/ 闭映射/ 同胚。
定义：概形间的态射 $f: X\to Y$ 称为 dominant 的，如果 $\overline{f(X)} = Y$ (即 $f(X)$ 在 $Y$ 中稠密).
定义（Sober）：一个拓扑空间称为 Sober 的，如果任意不可约闭子集都有唯一的一般点。
引理：概形 $X$ 一定是 $T_0$ 拓扑空间并且是 Sober 的。
设 $Z$ 是 $X$ 的不可约闭子集， $U$ 是 $X$ 的仿射开子集。
那么 $Z\cap U = \varnothing$ 或 $\overline{Z \cap U} = Z$ (因为此时 $Z \cap U$ 是 $Z$ 中的开集)
这意味着 $Z\cap U$ 是不可约的（如果可约，则可推导出 $Z$ 可约，矛盾）并且 $Z\cap U$ 的一般点就是 $Z$ 的一般点。
拓扑性质
定义（连通概形）：一个概形称为连通，如果它作为拓扑空间是连通的。
例子：$\text{Spec}\ A$ 连通当且仅当 $\forall x\in A,x^2 =x \iff x=0 \ \text{or } \ 1$ .
定义（irreducible，不可约）：一个概形称为 irreducible, 如果它作为拓扑空间是 irreducible 的。否则称为可约（redubcible）。
例子：$\text{Spec}\ A$ 是不可约的当且仅当 $Nil(A)$ 是一个素理想。
例子：$\text{Spec}\ k[x,y]/(xy)$ 是连通，可约的。有两个不可约分支。
注记：不可约分支都包含在连通分支中。故不可约分支的个数可能比连通分支的个数大。
定义（reduced, 既约）：概形 $(X, \mathcal{O}_X)$ 称为 reduced , 如果对任意开集 $U\subseteq X$ , 环 $\mathcal{O}_X(U)$ 是既约环（即没有非零的幂零元）。
引理：概形 $(X, \mathcal{O}_X)$ 是既约的当且仅当 $\forall x\in X$ , $\mathcal{O}_{X,x}$ 是既约环。
例子：$\text{Spec}\ A$ 是既约的当且仅当 $Nil(A)=0$ .
定义（integral, 整的）：概形 $(X, \mathcal{O}_X)$ 称为整的(integral), 如果对任意开集 $U\subseteq X$ , 环 $\mathcal{O}_X(U)$ 是整环。
注记：概形 $(X, \mathcal{O}_X)$ 是整的 $\implies$ $\forall x\in X$ , $\mathcal{O}_{X,x}$ 是一个整环。但是反过来不对！！！
引理（对应书上第二章习题2.16(a)）：设 $U=\text{Spec} \ B$ 是 $X$ 的仿射开集。 设 $f\in \Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ ，其限制为 $\overline{f} \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X|_U)$ . 那么 $U\cap X_f = U_\overline{f}$ . 其中 $U_\overline{f}$ 是 $U$ 在 $\overline{f}$ 上的主开集。 $X_f$ 是 $X$ 的开集。
$U\cap X_f = \{ x\in U: \overline{f}_x=f_x \not\in\mathfrak{m}_x\subseteq \mathcal{O}_{X,x}\} = \{\mathfrak{p}\in \text{Spec}\ B : \overline{f}_\mathfrak{p} \not\in \mathfrak{p}B_\mathfrak{p}\} = \{\mathfrak{p}\in \text{Spec}\ B : \overline{f} \not\in \mathfrak{p}\}=U_\overline{f}$
$X_f$ 是 $X$ 的开集显然成立。
引理（IIEX 2.18）：设 $A$ 是一个环， $X = \text{Spec}\ A$ , 并且 $f \in A$ . 那么 $f$ 是幂零元当且仅当 $D(f)$ 是空集。
” $\implies$ ” 存在 $n\ge 1$ 使得 $f^n =0$ . 对于任意的素理想 $\mathfrak{p}$ , $f^n \in \mathfrak{p}$ , 这意味着 $f\in \mathfrak{p}$ . 即 $D(f)$ 是空集。
” $\impliedby$ ” 因为 $D(f)=\varnothing$ , 所以对任意素理想 $\mathfrak{p}$ , $f\in \mathfrak{p}$ . 那么 $f\in Nil(A)= \bigcap_{\mathfrak{p}} \mathfrak{p}$ . 所以 $f$ 是幂零元。
命题：一个概形是整的当且仅当它是既约的和不可约的。（irreducible and reduced）
考虑概形 $(X,\mathcal{O}_X)$ .
“ $\implies$ ”
因为整环都是既约环。所以整的概形都是既约的概形。
假设 $X$ 可约，那么我们可以找到两个非空的不交开集 $U_1, U_2$ . $\mathcal{O}_X(U_1 \cup U_2) = \mathcal{O}_X(U_1) \times \mathcal{O}_X(U_2)$ . 注意到 $(0,1) \cdot (1,0)=(0,0)$ ，所以 $\mathcal{O}_X(U_1 \cup U_2)$ 有零因子，与整环矛盾。所以 $X$ 是不可约的。
“ $\impliedby$ ”
假设 $X$ 不是整的。
那么存在 $U$ 是 $X$ 的一个开子集，存在非零 $f,g \in \mathcal{O}_X(U)$ , 使得 $fg =0$ . 设 $Y = \{x\in U: f_x \in \mathfrak{m}_x\}$ , $Z = \{x\in U: g_x \in \mathfrak{m}_x\}$ .
由上面的引理 “设 $U=\text{Spec} \ B$ 是 $X$ 的仿射开集。 设 $f\in \Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ ，其限制为 $\overline{f} \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X|_U)$ . 那么 $U\cap X_f = U_\overline{f}$ . 其中 $U_\overline{f}$ 是 $U$ 在 $\overline{f}$ 上的主开集。 $X_f$ 是 $X$ 的开集。”
可知 $Y,Z$ 都是 $U$ 中的闭集。
并且因为 $\forall x\in U, (fg)_x \in \mathfrak{m}_x$ , 所以 $Y \cup Z = U$ . 由 $X$ 是不可约的，所以 $Y=U$ 或 $Z = U$ .
我们不妨设 $Y=U$ . 那么 $\forall x \in U, f_x \in \mathfrak{m}_x$ 。
对于 $U$ 的任何仿射开集 $V=\text{Spec} \ A$ , 都有 对任意 $x\in V, f_x \in \mathfrak{m}_x$ 。那么 $V_f= \varnothing$ , 由引理“设 $A$ 是一个环， $X = \text{Spec}\ A$ , 并且 $f \in A$ . 那么 $f$ 是幂零元当且仅当 $D(f)$ 是空集。”得 $f$ 在 $V$ 上限制幂零。
因为 $X$ 是既约的， $f$ 限制在 $V$ 上幂零，意味着 $f$ 限制在 $V$ 上为零。所以 $f$ 在 $U$ 上为 $0$ . 矛盾！！！
所以 $X$ 是整的。
定义（拟紧）：一个概形称为拟紧的如果它的拓扑空间是拟紧的。
例子：仿射概形都是拟紧的。
定义（拟紧态射）：概形间的态射 $f:X\to Y$ 称为拟紧的，如果存在 $Y$ 的仿射开覆盖 $\{V_i = \text{Spec}\ B_i\}_{i\in I}$ 使得 $f^{-1}(V_i)$ 都是拟紧的。（和有限的定义有些类似）
注记：概形间的态射 $f:X\to Y$ 称为拟紧的，如果对于 $Y$ 中任意拟紧开集 $V$ , $f^{-1}(V)$ 是拟紧的。
例子：闭浸入是拟紧的。
习题 3.2：概形间的态射 $f:X\to Y$ 是拟紧的当且仅当对于 $Y$ 中任意仿射开子集 $V$ , $f^{-1}(V)$ 是拟紧的。
命题：$Y$ 是仿射概形. 那么 $f:X\to Y$ 拟紧当且仅当 $X$ 是拟紧的。
特别地， $X\to \text{Spec}\ \mathbb{Z}$ 是拟紧的当且仅当 $X$ 是拟紧的。
引理：拟紧态射在复合和 base change 下是 stable 的。
定义（Locally noetherian scheme，局部 Noether 概形）：概形 $(X,\mathcal{O}_X)$ 称为局部 Noether 的，若 $X$ 作为拓扑空间可以被（这里不要求有限） 仿射开子集 $\{ \text{Spec} \ A_i\}$ 覆盖且 $A_i$ 都是 Noether 环。
定义（Noetherian scheme，Noether 概形）：概形 $(X,\mathcal{O}_X)$ 称为 Noether 的，若 $X$ 作为拓扑空间可以被有限个仿射开子集 $\{ \text{Spec} \ A_i\}$ 覆盖且 $A_i$ 都是 Noether 环。等价地，概形 $(X,\mathcal{O}_X)$ 称为 Noether 的，如果 $X$ 是局部 Noether 的并且是拟紧（quasi-compact, 拟紧）的。
注记：Noether 概形的拓扑空间一定是 Noether 的。但是反过来，一个 Noether 拓扑空间上的概形不一定是 Noether 概形。
引理：设 $A$ 是一个环， $\mathfrak{a}$ 是 $A$ 的一个理想。$f_1,\dots, f_r\in A$ 生成 $A$ 的单位理想（即 $\langle f_1,\dots, f_r\rangle= (1)$ ）。定义 $\varphi_i: A \to A_{f_i}, a \mapsto \frac{a}{1}$ 为局部化的自然同态, $i=1,\dots, r$ 。那么
左边肯定是包含在右边的。
我们下面来证右边也包含在左边。设 $b\in A$ 属于右边。那么 $\varphi_i(b) \in \varphi_i(\mathfrak{a}) \cdot A_{f_i}$ , 可以表示成
其中 $a_i\in \mathfrak{a}$ 并且 $n_i \ge 0$ . 我们可以上下同乘足够多的 $f_i$ . 那么存在足够大的 $n$ 使得
故对任意 $i=1,\dots,r$ ，存在 $m_i\ge 0$ 使得
同样地，我们可以左右同乘足够多地 $f_i$ , 那么存在足够大的 $m$ 使得
这意味着 $f_i^{m+n} b \in \mathfrak{a}$ .
因为 $f_1,\dots,f_r$ 生成 $A$ 的单位理想，即 $a_1 f_1+ \dots a_r f_r =1$ , 那么取其 $r(m+n)$ 次方，可得 $f_1^{m+n},\dots, f_r^{m+n}$ 也生成 $A$ 的单位理想。不妨设 $c_1 f_1^{m+n} + \dots +c_r f_r^{m+n}=1$ ,其中 $c_i\in A$ . 那么可知 $b = c_1 f_1^{m+n}b + \dots +c_r f_r^{m+n}b \in \mathfrak{a}$ . 所以 $b \in \mathfrak{a}$ . 所以右边也包含在左边中。
引理：设 $A$ 是一个环， $f_1,\dots, f_r\in A$ 生成 $A$ 的单位理想（即 $\langle f_1,\dots, f_r\rangle= (1)$ ）并且局部化 $A_{f_i}$ 都是 Noether 环，那么 $A$ 也是 Noether 环。
设
是 $A$ 的一条理想升链。那么我们也有如下 $A_{f_i}$ 中的的理想升链
因为 $A_{f_i}$ 是 Noether 的，所以这条理想升链肯定从某一项有 $\varphi_i(\mathfrak{a}_n)A_{f_i} = \varphi_i(\mathfrak{a}_{n+1}) A_{f_i}=\cdots$ . 由上一个引理 “ $\mathfrak{a} = \bigcap \varphi_i^{-1} (\varphi_i(\mathfrak{a}) \cdot A_{f_i})$ ”
可知理想升链 $\mathfrak{a}_1\subseteq \mathfrak{a}_2 \subseteq \mathfrak{a}_3 \subseteq \cdots$ 肯定也有 $\mathfrak{a_n} = \mathfrak{a_{n+1}}=\cdots$
引理：Noether 环的局部化是 Noether 环
命题：概形 $X$ 是局部 Noether 的当且仅当对任意仿射开子集 $U = \text{Spec}\ A$ , $A$ 是 Noether 环。
特别地，仿射概形 $X= \text{Spec}\ A$ 是 Noether 概形当且仅当 $A$ 是 Noether 环。
右边推左边都是定义。所以我们只需证明方向 ” $\implies$ “.
目标：假设 $X$ 是局部 Noether 的，我们来证任意仿射开子集 $U= \text{Spec} \ A$ , 都有 $A$ 是 Noether 环。
因为 $X$ 是局部 Noether 环，所以存在仿射开覆盖 $\{V_i = \text{Spec}\ B_i\}_{i\in I}$ 并且 $B_i$ 都是 Noether 环。对于每个 $f_{i}\in B_i$ 有 $D(f_{i}) \cong \text{Spec} \ B_{if_{i}}$ . $B_{if_{i}}$ 是 $B_i$ 在集合 $\{1,f_{i} ,f_{i}^2,\dots\}$ 上的局部化，且显然 $B_{if_{i}}$ 是 Noether 环。
这些 $\{D(f_{i})\}_{f_i\in B_i}$ 构成 $\text{Spec} \ B_i$ 的一组拓扑基。
对于 $X$ 的任意仿射开集 $U=\text{Spec} \ A$ , $U\cap \text{Spec} \ B_i = \bigcup_{j\in J_i} D(f_{ij})$ ,这些 $f_{ij}\in B_i$ . 那么 $U = \bigcup_{i\in I, j\in J_i} D(f_{ij})$ . 由于上面的讨论，可以知道 $D(f_{ij}) \cong \text{Spec} \ B_{i f_{ij}}$ , 其中每个 $B_{i f_{ij}}$ 都是 Noether 环。如果我们能证明 $A$ 是 Noether 环，那我们就证明完毕了。
那么我们可以把这个问题完全放到 $U= \text{Spec}\ A$ 中考虑了。（这也是书上做得理由。因为怕引起符号的混淆，我们这里就不按照书上写的做了。）
设 $V=\text{Spec} \ C$ 是 $U$ 中的仿射开子集并且 $C$ 是 Noether 环。那么肯定存在一些 $f\in A$ 使得 $V= \bigcup_{f\in T} D(f)$ 。设 $\overline{f}$ 是 $f$ 在 $C$ 中的像。那么 $A_f \cong C_{\overline{f}}$ , 因为 $C_{\overline{f}}$ 是 Noether 环，所以 $A_f$ 也是 Noether 环。这些 $V$ 可以取我们上面写的 $U = \bigcup_{i\in I, j\in J_i} D(f_{ij})$ 中的 $D(f_{ij})$ ， $f_{ij}$ 属于 $\text{Spec}\ B_i$ .
那么我们就得到了 $U$ 的一个新的覆盖 $U= \bigcup_{f\in G} D(f)$ ， $A_f$ 都是 Noether 环，现在这些 $f$ 都是属于 $A$ 的。由于 $U$ 是仿射开集，故为拟紧的，所以
且 $A_g$ 都是 Noether 环。记得我们的目标失去证明 $A$ 是 Noether 环。
这使得问题转变成“设 $A$ 是一个环， $f_1,\dots, f_r\in A$ 生成 $A$ 的单位理想（即 $\langle f_1,\dots, f_r\rangle= (1)$ ）并且局部化 $A_{f_i}$ 都是 Noether 环，那么 $A$ 也是 Noether 环。”该引理我们已经证过了。
定义（局部有限型）：概形间的态射 $f:X \to Y$ 称为局部有限型（locally of finite type），如果存在 $Y$ 的仿射开覆盖 $\{V_i = \text{Spec} \ B_i\}_{i\in I}$ 使得 $f^{-1}(V_i)$ 都可以被仿射开子集 $\{U_{ij} = \text{Spec}\ A_{ij}\}_{j\in J}$ 覆盖并且 $A_{ij}$ 是有限生成的 $B_i$ 代数。
特别地，如果 $f^{-1}(V_i)$ 都可以被有限个仿射开子集${U_{ij} = \text{Spec}\ A_{ij}}{j\in J,|J|<+\infty}$ 覆盖并且 $A{ij}$ 是有限生成的 $B_i$ 代数, 那么我们称 $f: X\to Y$ 为有限型（finite type）。
定义（有限）：概形间的态射 $f:X\to Y$ 称为有限态射（finite morphism），如果存在 $Y$ 的仿射开覆盖 $\{V_i = \text{Spec}\ B_i\}_{i\in I}$ 使得 $f^{-1}(V_i)$ 都是仿射的, 设 $f^{-1}(V_i) = \text{Spec} \ A_i$ , 并且 $A_i$ 都是有限生成 $B_i$ 模。
注记（有限生成代数和有限生成模的区别）：设 $k$ 是一个域，那么我们来考虑 $k[x]$ . $k[x]$ 是一个有限生成 $k$ 代数，其生成元为 $x$ . 但是 $k[x]$ 作为一个 $k$ 模来说，其生成元为 $1,x,\dots,x^n ,\dots$ 。这意味着 $k[x]$ 作为 $k$ 模不是有限生成的。
定义（局部有限型的概形）：设 $k$ 是一个域， $X \to \text{Spec}\ k$ 是概形间的态射。概形 $X$ 和 $X\to \text{Spec} \ k$ 放在一起称为 $k$ 上的概形（scheme over $k$ ）。如果 $X\to \text{Spec}\ k$ 是局部有限型，那么我们称 $X$ 是 $k$ 上的局部有限型概形。类似可定义 $k$ 上的有限型概形， $k$ 上的有限概形。
补充习题部分 3.1-3.4
习题 3.1：概形间的态射 $f:X \to Y$ 是局部有限型（locally of finite type）当且仅当对于 $Y$ 中任意的仿射开子集 $V = \text{Spec}\ B\}$ ， $f^{-1}(V)$ 都可以被仿射开子集 $\{U_{j} = \text{Spec}\ A_{j}\}_{j\in J}$ 覆盖并且 $A_{j}$ 是有限生成的 $B$ 代数。
证明：
右推左是显然的。只需要证左推右。
习题 3.3
习题 3.4：概形间的态射 $f:X \to Y$ 是有限的当且仅当对于 $Y$ 中任意仿射开子集 $V = \text{Spec}\ B$ , 存在有限仿射开覆盖 $\{U_{j} = \text{Spec}\ A_{j}\}_{j\in J, |J| < + \infty}$ 使得 $A_j$ 是有限生成 $B$ 模。
这里书上有两个例子。
定义（开子概形）：设 $(X,\mathcal{O}_X)$ 是一个概形， $(U,\mathcal{O}_U)$ 也是一个概形。我们称 $(U,\mathcal{O}_U)$ 是 $(X,\mathcal{O}_X)$ 的开子概形，如果 $U$ 是 $X$ 的开子拓扑空间且$\mathcal{O}_U$ 同构于 $\mathcal{O}_X|_U$ .
注记：概形中的任意开集都有唯一的开子概形结构。
定义（开浸入，Open Immersion）：我们称概形的态射 $f:(X,\mathcal{O}_X) \to (Y,\mathcal{O}_Y)$ 为开浸入，如果 $f$ 诱导 $(X,\mathcal{O}_X)$ 与 $(Y,\mathcal{O}_Y)$ 的开子概形 $(U,\mathcal{O}_U)$ 的同构。即诱导
如下图所示：
闭子概形和闭浸入
前文我们是先定义了开子概形，后利用开子概形定义的开浸入。这里会有很大不同，我们会先定义闭浸入，再利用闭浸入来定义闭子概形。
定义（闭浸入）：我们称概形的态射$f:(X,\mathcal{O}_X) \to (Y,\mathcal{O}_Y)$ 为 $Y$ 上的闭浸入（忽略 $X$ ）, 如果 (注意这里的 $f$ 其实是 $(f,f^\#)$ )
(1) $f$ 诱导 $X$ 与 $f(X)$ 的同胚，且 $f(X)$ 是 $Y$ 中的闭集。
(2) $f^\#: \mathcal{O}_Y \to f_* \mathcal{O}_X$ 是满态射
定义（闭浸入的等价）：两个闭浸入 $f:(X,\mathcal{O}_X) \to (Y,\mathcal{O}_Y)$ , $g:(X’,\mathcal{O}_{X’}) \to (Y,\mathcal{O}_Y)$ 称为等价的，如果存在同构 $h:X\to X’$ 使得 $f = g \circ h$ .
定义（闭子概形）：概形 $X$ 上的闭浸入（形如 $Y\to X$ ）的等价类称为闭子概形。
例子：设 $A$ 是一个环， $\mathfrak{a}$ 是 $A$ 的一个理想。设 $X= \text{Spec}\ A$ ， $Y= \text{Spec} A/ \mathfrak{a}$ . 那么环同态 $A \to A/ \mathfrak{a}$ 诱导概形间的态射 $f:Y \to X$ . 这个 $f$ 就是一个闭浸入。
因为 $Y \cong V(\mathfrak{a}) \subseteq X$ , 所以 $Y$ 同胚与 $X$ 的闭子集。因为 $Y$ 是 $X$ 中的闭集，所以
$\mathcal{O}_X \to f_* \mathcal{O}_Y$ 在 Stalk 上都是满射。容易推出 $\mathcal{O}_X \to f_* \mathcal{O}_Y$ 是满态射。
到此即得 $f$ 是闭浸入。
注记：概形中的闭集上的闭子概形并不唯一。在这个例子中，如果我们取 $\mathfrak{a}$ 和 $\mathfrak{b}$ , 那么 $V(\mathfrak{a}) = V(\mathfrak{b})$ . 那么它们对应 $X$ 中同一个闭子集。但是 $\text{Spec}\ A/ \mathfrak{a}$ 和 $\text{Sepc} A/ \mathfrak{\mathfrak{b}}$ 具有不同的层结构，注意到整体截面就不相同。所以闭子集上的闭子概形并不唯一。
例子：设 $k$ 是一个域， $A= k[x,y]$ . 那么 $\text{Spec}\ A = \mathbb{A}_k^2$ 是 $k$ 上的仿射平面。 理想 $\mathfrak{a}_1 = (xy)$ 给出了一个可约的子概形，由 $x$ 轴和 $y$ 轴的并构成。理想 $\mathfrak{a}_2=(x^2)$
定义（概形的维数）：概形 $(X,\mathcal{O}_X)$ 的维数就是其作为拓扑空间的维数，记为 $\text{dim}\ X$ 。（拓扑空间的维数是其中闭集真升链长度的上确界）
设 $Z$ 是 $X$ 的不可约闭子集，我们定义 $Z$ 在 $X$ 中的余维数为以 $Z$ 为起点的不可约闭子集真升链
长度的上确界。记为 $\text{codim}\ (Z,X)$ .
设 $Y$ 是 $X$ 中的闭子集，我们也可以定义 $Y$ 在 $X$ 中的余维数。设 $Z$ 是包含在 $Y$ 中的不可约闭子集，那么我们定义 $Y$ 在 $X$ 中的余维数为
例子：素谱 $\text{Spec} \ A$ 的维数和 $A$ 的 Krull 维数相同。因为 $\text{Spec} \ A$ 的闭集 $V(\mathfrak{p})$ 与 $A$ 的素理想 $\mathfrak{p}$ 一一对应。
注记：维数和余维数我们一般只在性质比较好的概形上使用。例如域 $k$ 上的有限型概形。在整的，域 $k$ 上的有限型的仿射概形 $X$ 上还会有如果 $Y$ 是 $X$ 的不可约闭子集，那么
定义（纤维积，拉回）：设 $X,Y,S$ 是三个概形， $f:X \to S$ 和 $g: Y \to S$ 是概形间的态射。我们称 $X \times_S Y$ 和两个态射 $p_1 : X \times_S Y \to X$ 和 $p_2: X \times_S Y \to Y$ 为下图的纤维积，
如果它满足 (1) 使得下图交换
(2)（泛性质） 如果存在概形 $Z$ 使得下图交换
那么存在唯一的从 $Z$ 到 $X \times_S Y$ 的态射 $h$ 使得下图交换
我们接下来打算去证明概形范畴 $Sch$ 都有纤维积。
定理：概形范畴 $Sch$ 都有纤维积并且忘却函子 $Sch \to LRS$ 保纤维积。
推论：概形范畴 $Sch$ 有有限极限和余极限，并且忘却函子 $Sch \to LRS$ 保有限极限和余极限。
注记：局部环空间范畴 $LRS$ 有小的极限和余极限。但是概形范畴 $Sch$ 一般情况下没有无限的积和推出。
引理（EXII 2.7）：设 $X$ 是概形。对任意 $x\in X$ , 我们有剩余域 $k(x)=\mathcal{O}_{X,x}/ \mathfrak{m}_{X,x}$ . 设 $K$ 是任意域，那么 $\text{Spec} \ K$ 是单点集，态射
等价于给定一个 $x\in X$ 和含入映射 $k(x) \to K$ .
证明完毕！
定义：设 $f: X\to Y$ 是概形的态射。设 $y \in Y$ , $k(y) = \mathcal{O}_{Y,y}/\mathfrak{m}_{Y,y}$ 是 $y$ 处的剩余域。设
那么我们就有了下图
该图的纤维积
称为 $f$ 在点 $y$ 处的纤维积，记为 $X_y$ .
注记：$X_y$ 的拓扑空间同胚于 $X$ 的子空间 $f^{-1}(y)$ . $\{X_y\}_{y\in Y}$ 构成了一族概形。
定义（ $X_0$ 的一族变形， a family of deformations of $X_0$ ）：设 $X_0$ 是域 $k$ 上一个概形。我们定义 $X_0$ 的一族变形为态射 $f:X \to Y$ , 其中 $Y$ 是连通概形且存在 $y_0\in Y$ 使得 $k(y_0) \cong k , X_{y_0} \cong X$ . $X_y$ 称为 $X_0$ 的变形。
😙
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