我们称 $X$ 是一条曲线，如果 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的 complete, nonsingular 的曲线。也就是说 $X$ 是是代数闭域 $k$ 上维数为 $1$ 的 integral, proper, nonsingular 概形。
设 $D$ 是曲线 $X$ 的一个除子。那么我们定义 $$l(D):= \dim_k H^0(X,\mathscr{L}(D)).$$ 并且我们定义 $$\dim |D| : = l(D)-1.$$
设 $D$ 是曲线 $X$ 上得一个除子。那么如果 $l(D) \neq 0$, 就有 $\deg D \ge 0$. 进一步，如果 $l(D) \neq 0$ 并且 $\deg D =0$, 那么 $D \sim 0$，即 $\mathscr{L}(D) = \mathcal{O}_X$.
设 $D$ 是亏格为 $g$ 曲线 $X$ 上的除子。那么 $$l(D) – l(K-D) = \deg D +1-g.$$
设 $D$ 是亏格为 $g$ 的曲线 $X$ 上 的除子，设 $n>0$。那么 $$\dim |nD| = \begin{cases}-1&, \deg D<0 \\\\ -1 &,\deg D = 0 \wedge nD \not\sim 0 \\\\ 0 &, \deg D =0 \wedge nD \sim 0 \\\\ n\cdot \deg D -g &, \deg D >0.\end{cases}$$
设 $X$ 是亏格为 $g$ 的曲线，那么 $\deg K = 2g -2$.
取 $D= K$，利用 Riemann-Roch 定理得 $l(K) – l(0) = \deg K +1 -g$. 又因为 $p_g$ 就是 $l(K)$, 所以有 $$g – 1 = \deg K +1 -g.$$ 故 $$\deg K = 2g -2.$$
如果 $l(K-D) >0$.,我们称除子 $D$ 是 special 的并且此时我们称 $l(K-D)$ 为 $D$ 的 index of speciality.如果 $l(K-D)\le 0$, 我们称 $D$ 是 nonspecial 的。
如果 $\deg D > 2g -2$, 那么 $\deg (K-D) <0$, 这会导致 $\dim |K-D| = -1$ 进而 $l(K-D)= 0$. 所以 $\deg D >2 g -2$ 的除子 $D$ 是 nonspecial 的。
一条曲线称为有理的，如果它和 $\mathbb{P}^1$ 双有理等价。
一条曲线 $X$ 是有理的当且仅当 $p_g(X) = 0$.
因为几何亏格是双有理不变量。所以 $p_g(X) = p_g(\mathbb{P}^1) = 0$.
现在证明反方向。设 $D = P-Q$, 因为亏格 $p_g =0$, 所以 $\deg |K-D| = \deg K = 2g -2 = -2$. 利用推论 得， $\dim(K-D) = -1$, 因此 $l (K-D) =0$. 故由 Riemann-Roch 定理可得 $$l(D) -0 = \deg D +1 -g = 0+1-0 =1,$$因此 $l(D)=1$. 根据引理 , 可得 $D\sim 0$, 即 $P \sim Q$. 这意味着 $X\cong \mathbb{P}^1$.
现在证明反方向。设 $D = P-Q$, 因为亏格 $p_g =0$, 所以 $\deg |K-D| = \deg K = 2g -2 = -2$. 利用推论 得， $\dim(K-D) = -1$, 因此 $l (K-D) =0$. 故由 Riemann-Roch 定理可得 $$l(D) -0 = \deg D +1 -g = 0+1-0 =1,$$因此 $l(D)=1$. 根据引理 , 可得 $D\sim 0$, 即 $P \sim Q$. 这意味着 $X\cong \mathbb{P}^1$.
设 $X$ 是一个椭圆曲线，即 $p_g(X)=1$. 那么 $K \sim 0$.
利用推论 ，可得 $\deg K = 0$. 利用 Riemann-Roch 定理，可得 $$l(K) – l(K-K) = \deg K +1 -g,$$ 因此 $l(K) = 1,\dim |K| =0$. 那么根据推论 可知 $$\dim|K| = \begin{cases} 0 &, \deg K =0 \wedge K\sim 0\\\\ -1 &, \deg K =0 \wedge K \not\sim 0.\end{cases}$$ 故 $K \sim 0$.
设 $X$ 是一条椭圆曲线。固定 $X$ 上的一个点 $P_0$. 设 $Pic^0(X)$ 是 $Pic(X)$ 的次数为 $0$ 的除子同构类构成的子群。那么 $$\begin{aligned} X &\to \mathrm{Pic}^0(X) \\\\ P &\mapsto \mathscr{L}(P-P_0).\end{aligned}$$