希尔伯特概形和叠(LZY)

$\scrG r(r,n)$ 是可表函子，被概形 $\text{Gr}(r,n)$ 表示。

定理

$\text{Gr}(r,n)$ 是光滑和射影的概形。

证明：

$Gr(r,n)$ 可以被 $G_I\cong \bbA^{r(n-r)}$ 覆盖，这可以推出 $Gr(r,n) = \{W\subseteq V, \dim W =r\},\dim V =n$ 是光滑的，因为 $G_I$ 是光滑的。

存在典范嵌入 $Gr(r,n) \hookrightarrow \bbP^N,W \mapsto \bigwedge^r W$, 其中 $N =\dim \bigwedge_{}^{r}V -1$.

∎

证明：

证明 $\scrG r(r,n)$ 的可表性。上一次，我们找到了 a covering of subfunctors $\scrG_I \subseteq \scrG r(r,n)$ ，$\scrG_I$ 是可表的。

$$ \bigcup_{I}^{} \scrG_I(S) = \scrG r (r,n)(S) .$$

$\forall I \subseteq \{1,\dots,n\}$, $|I| =r$,

$$ G_I : = \{W\subseteq V, W \twoheadrightarrow \bigoplus_{i\in I}^{}\langle e_i \rangle \} $$

也就是说 $G_I \cong \bbA^{r(n-r)}, w_i \mapsto (a_{ij})_{i\in I, j \notin I}$, $w_i =\sum e_i + \sum_{j\notin I}a_{ij} e_j$.

更一般的， $\forall W_0 \subseteq V$, $\dim W_0 =r$, $$ G_{W_0} := \{W \subseteq V, W \twoheadrightarrow W_0\} $$

但是我们可以通过坐标变换，使得 $W_0 = \bigoplus_{i\in I}^{} \langle e_i \rangle$ 。

∎

例题 (希尔伯特概形)

$P(z) \in Q[z]$. 我们定义希尔伯特概形函子

$$\calH_{p(z),N} := \text{Sch} \to \text{Set}, S \mapsto \{\text{closed}\ S \ \text{subscheme of }\ \bbP^N_S, \text{希尔伯特多项式为}\ p(z)\}.$$

设 $Y\subseteq \bbP^N$, $P_Y(Z) = \chi_Y(z) : = \sum_{i=0}^\infty \dim H^i(Y,\calO_Y[z]),z\in \bbZ$ 当 $z\gg 1$.

$\chi_Y(z)$ 是 invariant under deformation.

定理

$\calH_{p(z),N}$ 是一个可表函子，可以被射影概形 $H_{p(z),N}$ 表示。这个 $H_{p(z),N}$ 称为希尔伯特概形。

注记

$H_{p(z), N}$ 的性质一般情况下都不是很好，可能都不是光滑的。

思考

如何去想这件事？如何去证明？

固定一个子概形 $Y_0 \subseteq \bbP_{\overline{k}}^N$, 设 $p(z) = P_{Y_0}(z)$. 那我们自动得到一个函子 $\calH_{p(z),N}(\overline{k})$.
超平面 $Y_0 \subseteq \bbP^N$, $\text{degree} \ = d$, $\calH_{Y_0}= \{\text{closed subschme of }\ \bbP^N, \text{whose Hilbert polynomial}\ P_{Y_0}\} \supseteq \{\text{all hypersurfaces of degree} \ d \} = \bbP^{N-1}$.
$C_0 \subseteq \bbP^3_{\overline{k}}$ 是一条曲线。 $C_0 = Y_1 \cap Y_2$, $Y_1,Y_2$ 是两个光滑曲面， $C_0$ 是 $Y_1,Y_2$ 的横截相交。$$ \calH_{C_0}(\overline{k}) = \supseteq \{ \text{all complete intersections}\ X_1 \cap X_2, \deg(X_1) = \deg(Y_1),\deg(X_2) = \deg(Y_2) \}. $$ $ \calH_{C_0}(\overline{k}) = \supseteq \left\{ \text{non-complete} \ + \ \text{pts} \right\} $

习题

$d_1d_2 = 6$ 的时候考虑一下。

例题

点的希尔伯特概形。

$\calH_{n,N} = \{x_1,\dots, x_n \in \bbP^N\}$

$ \calH_{n,X} = \{x_1,\dots,x_n \in X\} $,$X$ 是一个射影概形。这是上面的推广。

一些结论：

$N=1$, $\calH_{n,1} = \bbP^{n} = \bbP^1 \times \bbP^1 \times \dots \times \bbP^1 / S_n$.

$N=2$, $\calH_{n,2} \approx \bbP^2\times \bbP^2 \times \dots \times \bbP^2/S_n$.

因为如果 $x_1= x_2$ ，那么就多模掉一些东西了。这种称为坏点。我们采用在这些坏点爆破。

$n=2$, $\bbP^N\times \bbP^N / S_2$, $\bbP^N \times \bbP^N – \Delta$, 其中 $S_2$ 是 freely 的。

$\bbP^N = \text{space of distinct pts in }\ \bbP^n$.

$\calH_{p(z),N}(S) = \{ \pi : X \to S, \text{flat morphism},b\in S, $

$P_{\pi^{-1}(b) \subseteq \bbP^N}(z) = P(z) \}$.

这是一个可表函子，表示元为一个射影概形。$\calH_{p(z),N}$ 是 $\scrG r(r,m)$ 的一个闭子函子。

想法：存在 $\calH_{p(z),N}$ 和 $\scrG r(r,m)$ 自然的联系。

闭子概形是由 ideal sheaf 决定的。如果 $\scrI_{X/\bbP^N_S} \otimes \calO_{\bbP^N}(l)$ 是由整体截面生成的。和没有 higher cohomogy（因为我们想要 $\chi(\scrI_{X/\bbP^N}$ 不变）. 对应 $\calH_{p(z),N}$.

Hilbert Scheme of hypersurfaces

叠(Stacks)

Grothendieck 拓扑

定义

设 $\calC$ 是一个范畴。$\calC$ 上的 Grothendieck 是如下资料：

a collection $Cov(\calC)$ of families of morphisms $\{U_i \to U\}_{i\in I}$ 称为 covering of $U$ 或者 covering map.(类比开覆盖) 满足

(1) $f:V \to U$ 是一个同构，那么 $\{V \to U\} \in Cov(\calC)$.

(2) 如果 $\{U_i \to U\}_{i\in I}\in Cov(\calC)$, $\{V_{ij} \to U_i\}$, 那么 $\{V_{ij} \to U_i \to U\}_{i\in I,j\in J} \in Cov(\calC)$.

(3) 如果 $\{U_{i} \to U\} \in Cov(\calC)$, $V \to U$, 那么 $\{U_i \times_U V \to V\} \in Cov(\calC)$.

$\{U_i \to U\}$ 是 jointly surjective.

例题

如果 $Cov(\calC)$ 是开浸入，那么我们有 Zariski 拓扑。

smooth morphisms, 那么有光滑拓扑。

etale 态射，那么有 etale 拓扑。

fpqc = faithfully flat + quasi-compact

fppf = faithfully flat, finitely presented.

平坦拓扑。

定义

一个景 $(\calC ,Cov(\calC))$ 是一个范畴加上 Grothendieck 拓扑。

例题

(1) (small etale site) $X_{\text{small},et} = (\calC, Cov(\calC))$. $X$ 是一个概形。

$$ \calC = \{Y \to X , etale\} $$

$$ Cov(\calC) = \text{etale topology} $$

used in homology/homotopy of $X$.

(2) (Big etale site) $X$ 概形。 $X_{et} = (\calC^1,Cov(\calC^1))$.

$$ \calC^1 = \{Y \to X,\text{any morphism} \}$$

$$ Cov(\calC’) = \{etale topology\} $$

used in moduli theory.

(3) smooth site.

(4) fppf, fpqc site.

(3) (4) 多用在 moduli theory 和 stack theory.

动机：为了学习模函子的性质。

设 $X$ 是拓扑空间。 $\scrF: Top(X) \to \text{Set}$ 逆变函子，就是一个预层。

$\scrF$ 是一个层，如果满足以下两个公理：

(1) Identity . (2) gluing.

如果一个模函子是 fine, $\calM = \rmHom(-,M)$ 是一个层。

moduli functors, stack, sheaf, representable functor.

模函子可能连层都不是，所以我们需要 stack 这个概念。

introduce sheaf
introduce stack

定义

设 $\calC$ 是一个范畴。

(1) A presheaf of (Sets) on $\calC$ 是一个反变函子

$$ \calM : \calC \to \text{Sets} $$

(2) 给定一个 Grothendieck 拓扑 $Cov(\calC)$ on $\calC$.

一个预层 $\calM$ 是层 over 景 $(\calC ,Cov(\calC))$, 如果以下是一个等化子

$$ \calM(U) \to \prod_{i} \calM(U_i) \rightrightarrows \prod_{ij} \calM(U_i \times_U U_j)$$

其中 $\{U_i \to U\}\in Cov(\calC)$.

定理

预层 $\calM$ over $(\calC, Cov(\calC))$，存在一个典范映射（满足泛性质）

$\calM \to \calM^*$

其中$\calM^*$ 是一个层。

思考

利用层论钟类似的操作。我们可以得到一个典范映射：

$$ \calM \to \calM^+ $$

使得 $\calM^+$ 是 separated.

一个预层称为 separated, 如果它满足 identity axiom. i.e. $\forall s,t \in \calM(u)$, $s|_{U_i} = t|_{U_i}$ $\forall U_i$, $\implies s=t$.

$\calM \to \calM^++$ 就是一个层化。

$\calM^+(U) = \text{codim}\ \calM(\scrU),\scrU = \{U_i \to U\}$.

其中 $\calM(\scrU) = \{(s_i) \in \prod_{U_i \in \scrU} \calM(U_i) \mid s_i|_{U_i\times U_j} = s_j|_{U_i\times U_j} \}$.

注记

$(\calC, Cov(\calC))$

问题：可表函子 $\rmHom(-,X)$ 是层吗？

canonical 拓扑：

$\calC$ 上的典范拓扑是使得所有可表函子都是层的 “the finest” 的拓扑。

例题

(1) Zariski 拓扑：所有可表函子都是层。

(2) 对于 fpqc,所有可表函子依然是层。（这应该是最大的？）

预叠(prestack)

动机例子：$\calM_g: \text{Schemes} \to \text{Sets}$.

(1) 这不是一个可表函子

(2) 这也不是一个层。（zariski)

我饿们想要记住这些 automorphisms, 所以需要一个更一般的结构 stack

A better approach:

一个新范畴 $\scrM_g$:

objects: $(U,C)$ 其中 $U \in \text{Sch}$, $C \to U$ 是一族亏格为 $g$ 的光滑曲线。

态射：$(V,D) \to (U,C)$ 为

并且 $D \to C$ 是一个同构。

$\exists$ 一个函子 $\pi: \scrM_g \to \text{Sch}, (U,C) \mapsto U$

$\forall U \in \text{Sch}$, $\pi^{-1}(U) = M_g(U)$ (作为对象是相同的）。

定义 (广群)

广群是一个范畴，其上所有态射都是可逆的。或者说所有态射都是同构。

定义

$\pi: \calS \to \calC$ is fibred in groupoids over $\calC$, 如果

(1) $\forall f: B \hookrightarrow U$ in $\calC$, $x\in \calS$, $\pi(x) = U$. 存在 a lift $\phi:y \to x$ in $\calS$ with $\pi(\phi) =f$.

(2) (Uniquinesss of lifts)

$\forall \phi : y \to x$ 和 $\psi: z \to x$ in $\calS$. 和 $f: \pi(z) \to \pi(y)$, 使得 $ \pi(\phi)\circ f = \pi(\psi)$. 存在唯一的 lift $\chi: z\to y$ of $f$ 使得 $\phi \circ \chi = \psi$.

例题

$\calM_g$, $\forall V \to U \in \rmHom(V \to U)$, 对于 $C \to U \in \calM_g(U)$,

lift is obtained by castesian diagram.

定义 (CFG)

A CFG 是 $$ \calS \to \calC $$

使得对于任意 $U \in \cal C$, $\pi^{-1}(U)$ 是一个广群。

定义

A CFG $\pi : \calS \to \calC$ 是一个预叠，如果 $\forall U \in \calC, x,y \in \pi^{-1}(U)$, 预层

$$ Iso(x,y) : \calC/ U \to \text{Sets}, (f:V \to U) \mapsto Iso_{\pi^{-1}(V)}(f^*x ,f^* y) $$

是一个层。

注记

这其实相当于景的定义里的 (1) 条件。我们来证明一下。

证明：

对于 $\phi_i : a|_{S_i} \to b$，我们有 $\phi_i = p_i\circ\tilde{\phi_i}$. $\tilde{\phi_i} \in $

∎

例题

$\calM_g \xrightarrow{\pi} \text{Sch}$ 是一个预叠。

为什么？

证明：

$\forall C_1 \to U,C_2 \to U \in (\text{Sch}/U)$,

$\forall V \to U$,

$Isom(\tilde{C_1} \to V, \tilde{C_2} \to V)$. 需要验证这是一个层。

∎

例题

设 $X$ 是一个概形。

叠(stack)

定义

$\calC$ 是一个景。

预叠 $\pi: \calS \to \calC$ 是叠，如果

(Descent) $\forall $ covering $\{U_i \to u\}_{i\in I}$ in \calC$,

$x_i \in \pi^{-1}(U)$, 并且

$\phi_{ij} : x_{i}|_{U_i \times U_j} \xrightarrow{\sim} x_j |_{U_j \times U_i}$ 满足以下 cocycle condition

$\phi_{ik} = \phi_{jk} \circ \phi_{ij}$ on $U_i \times U_j \times U_k$.

存在 $x\in \pi^{-1}(U)$ 和同构 $\phi_I: x|_{U_i} \cong x_i$ 使得 $\phi_{ij} = (\phi_i|_{U_i \times U_j}) \circ (\phi_j|_{U_i \times U_j})^{-1}$.

注记

prestack 可以看成 presheaf + separatedness

stack 可以看成 sheaf. 其中 descent 性质可以看成 glueing .

定义

景 $S$ 上的预叠 $\calX$ 是叠，如果一下条件对于任意 $S \in \calS$ 和对所有覆盖 $\{S_i \to S\}$ 都成立：

(1) 对于 $a,b \in \calX$ over $S$ 和态射 $\phi_i: a|_{S_i} \to b$ 使得 $\phi_i|_{S_{ij}} = \phi_j|_{S_{ij}}$ 像下图最上面两个态射复合和最下面两个态射复合相同：

那么存在唯一的态射 $\phi:a \to b$ over $\text{id}_S$ 并且 $\phi|_{S_i} = \phi_i$.

这里 $\phi|_{S_i}$ 为如下两个态射的复合 $$ a|_{S_i} \to a \xrightarrow{\phi} b.$$

其中 $a|_{S_i}$ 为

(2) 对于 $a_i$ over $S_i$ 和同构 $\alpha_{ij}: a_i | _{S_{ij}} \to a_j|_{S_{ij}}$, 如下图

并且满足上链条件 $\alpha_{jk}|_{S_{ijk}} \circ \alpha_{ij}|_{S_{ijk}} = \alpha_{ik}|_{S_{ijk}}$.

那么存在 $a$ over $S$ 和同构 $\phi_i: a|_{S_i} \to a_i$ over $\text{id}_S$ 使得

$$\phi_j|_{S_{ij}} \circ \phi_i|_{S_{ij}}^{-1} = \alpha_{ij}$$

即我们有下图

命题

设 $\calX \to \calY$ 和 $\calY’\to \calY$ 是 over 景 $\calS$ 的叠之间的态射，那么纤维积 $$\calX \times_\calY \calY’$$

仍然是 over 景 $\calS$ 的叠。

回忆

presheaf = CFG + Isom() is a sheaf.

我们来看一下和模函子的关系。

CFG 和模函子。

CFG	模函子
$\calS \to \calC$	$\calM: \calC \to Sets$

从左到右：

给定 $\calS \xrightarrow \calC$, 我们可以定义

$$ \calM_\pi: \calC \to Sets, B \mapsto \pi^{-1}(B)/ \cong $$

从右到左：

给定一个模函子 $\calM: \calC \to Sets$.

我们可以得到一个 CFG 如下

$$ ob(S) = \{(U,\xi) , , \xi \in \calM(U), U \in \calC \}$$

态射为 $V,U \in \calC$, $Mor(\calS)$ 为 $\forall (U,\xi), (V,\eta) \in \calS$.

$f:V \to U$ 使得 $\calM(f)(\xi) = \eta$.

例题

$\calS \to \calC$ 是 category fibered in sets.

那么 (1) $\scrS \xrightarrow{\pi} \calC$ 是预叠，如果 $\calM_\pi$ 是 separated.

(2) 叠如果 $\calM_\pi$ 是层。

例题

(1) 层是叠。

$\calF$ 是景 $\calC = (\calC, Cov(\calC))$ 上的层。

我们定义一个 CFG, 对象：$(U,s) , s\in \calF(U)$,

态射： $(V,t) \to (U,s) \iff f:V \to U,f^* s = t$.

$\pi:\calS \to \calC$ 是遗忘函子。 $\pi^{-1}(U)= $ groupoids (as sets) i.e. isom = id.

为什么这是 CFG?

存在 lifting + uniqueness of lifting.

$\forall f: V \to U$ in $\calC$ we need to find

$\Phi:(V,t) \to (U,s)$ 使得它对应的映射是 $f$. 取 $t= f^*s$ 即可。

(2) 唯一性。

$$ \Phi:(V,t) \to (U,s) $$

$$ \Psi: (W,u) \to (U,s) $$

$$ h:W\to V $$

使得 $\pi(\Phi) \circ h = \pi(\Psi)$

我们可以找到 $\chi:(W,u) \to (V,t)$ 使得 $\pi(\chi) = h , \Phi\circ \chi = \Psi$. 只要取 $h$ 的 lift.

(2) 为什么是预叠？

检查 $Isom((U,s) , (U,t)): \calC/U \to Sets, f: V \to U \mapsto I(V \xrightarrow{f} U) = \begin{cases}\{id\}, \text{if} \ f^*s = f^*t \\ \varnothing\end{cases}$

(3) 为什么是叠？

我们需要检查 descent axioms. i.e. $\forall \{U_i \to U\}$ $\calC$ 中的覆盖。 $x_i \in \pi^{-1}(U_i), \Phi_{ij}: x_i|_{U_i \times_U U_j} \xrightarrow{\sim} x_j|_{U_j \times U_i}$. 这里 $x_i = (U_i,s_i), s_i \in \calF(U_i)$。

$\varphi_{ij}: x_i|_{U_{ij}} \cong x_j|_{U_{ji}}$. $\iff s_i|_{U_{ij}} = s_j |_{U_{ji}}$.

因为 $\scrF$ 是一个层，存在 $s\in scrF(u),s_i = s|_{U_i}$.

取 $x = (U,s), s\in \calF(U)$ as desired objects in $\pi^{-1}(U)$.

例题

$\calM_g$, $\calM_g \xrightarrow{\pi} Scheme$,

objects : $(U,C \to U)$, 这里 $C \to U$ 是 family of sm proj curves of genus of $g$.

morphism: pullbacks.

(CFG) 跳过。

(2) 为什么是 prestack. $\calC_1,\calC_2 \in \calM_g(U) = \pi ^{-1}(U)$.

预层 $Isom(\calC_1,\calC_2) : Sch/U \to Sets, ( V \to U) \mapsto Isom(\calC_1 \times _U V, \calC_2 \times _U V)$ 是一个层。i.e. $\{ U_i \to U\}$ oepn covering , $\exists \calC_1 \times_U U \cong \calC_2 \times_U U$ 对于所有 $i$. and capatible.

这是平凡的，在 Zariski 拓扑上。

如果我们考虑 etale, sm , spqc 的景。这仍然成立。因为我们考虑take the image of $U_i \to U$ .

约化成 $V$ 是 affine 的，如果

$\calC \times_U V \to V$ 和 $\calC_2 \times_U V \to V$ 是同构，可以推出 $\calC_1 \cong \calC_2$. 根据 CA 中的 descent 定理，我们可以找到 gluing 同构的存在性。

(3) descent

$\{U_i \to U\}$ open cover.

$\calC_i \to U_i \in \calM_g(U_i)$.

问题：如果存在 $\calC \to U$ 使得

$$ \calC|_{U_i} = \calC_i \to U_i $$

$\calC =$ gluing schemes (in zariski topoly).

例题

(1) quotient stack $[X/G]$, here $X$ 是一个概形， $G$ 是 alg group acts properly on $X$.

$[X/G] \to Sch$, 对象： $(u,P \to U)$ 这里 $P \to U$ 是一个 $G$ bundle.

$X/G = \pi^{-1}(U)$. 取 $U = pt$.$X/G = \{(pt, G act on pt)\}$

商叠 $[U/G]$ 是 over $Sch/S$ 的范畴，

对象是下图

态射：从 $(P \to T, P \to U)$ 到 $(P’ \to T, P’ \to U)$ 的态射是 $T \to T’$ 和 $P \to P’$ 使得下图交换并且左边的方块构成纤维积

(2) stack of vector bundle.

命题

商叠和分类叠都是叠。（参考预叠的一些例子 – 任务优先）

例题

$\calM_g= $ quotient stack $= [U/PGL(N)]$.

其中 $U \subseteq \calH_{(p(z), \bbP^N)}$ oepn subset.

例题

$Vect_r \to Sch$,

objects: $(U,\calE)$, $U\in Sch$ 是一个概形。 $\calE$ 是 $U$ 上秩为 $r$ 的局部自由层。

这是一个叠！

给定一个曲线 $C$, $N_r(C)= $ moduli space of vector bundles of rank $r$ on $C$ $=$ Isom class of vector bundles of rank $r$ on $C$.

This is not good as it is not of finite type. $NR(C) = \infty$ pts.

$N_{r,d}(C) = \{ \calE, rank \ r, \deg (\calE) = d\}$ 这是一个 proj scheme. $g(C) \ge 2$.

定义 (叠化)

$\forall$ CFG/ prestack, $\calS \to \calC$, $\exists$ a canonical stackfication $\calS^* \to \calC$.

可以拿来类比层化。

定义

如果 $\calX$ 是景 $\calS$ 上的一个预叠。那么存在叠 $\calX^{st}$, 我们称之为 $\calX$ 的叠化，和一个预叠之间的态射 $\calX \to \calX^{st}$ 使得对于任意 over $\calS$ 的叠 $\calY$, 以下诱导函子

$$ \text{Mor}(\calX^{st},\calY) \to \text{Mor}(\calX, \calY)$$

是范畴的一个等价。

显然给定一个 $f:\calX^{st} \to \calY$, 我们可以得到 $\calX \to \calX^{st} \xrightarrow{f} \calY$.

命题

叠化和纤维积交换，即设 $\calX \to \calY$ 和 $\calZ \to \calY$ 是两个预叠间的态射，那么我们有

$$ (\calX \times_\calY \calZ)^{st} \cong \calX^{st} \times_{\calY^{st}} \calZ^{st}.$$

希尔伯特概形和叠(LZY)

叠(Stacks)

Grothendieck 拓扑

预叠(prestack)

叠(stack)

DM 叠

Artin 叠(就是代数叠)

good moduli stack

Lunifans

希尔伯特概形和叠(LZY)

叠(Stacks)

Grothendieck 拓扑

预叠(prestack)

叠(stack)

DM 叠

Artin 叠(就是代数叠)

good moduli stack

Lunifans

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