主要内容：模空间
主要计划：
(1) Basic Moduli Theory( Algebraic Stack ) （叠可以看作概形的推广），例子：曲线的模空间
(2) 例子：向量丛的模空间，凝聚层的模空间。（涉及两种稳定性： Geometry = Geometric Inv Theory）
(3) 导出代数几何
背景
模空间主要源于我们要去分类特定的对象。例如：分类三角形。有不同的分类标准，例如根据边，角。
主要的分类标准是：(1) 同构。isomorphism classes. (2) S-equivalent class. （在主要计划(2) 里可能会涉及）
“特定“： 这取决于我们课题。
例子：在代数几何中
(1) 仿射簇， $ k $ 代数。
(2) 射影簇，例如亏格为 $g$ 的光滑射影簇。（亏格是拓扑不变量）
事实上，$X\cong Y$ 作为 $\bbC$ 上的光滑射影簇同构可以推出它们作为射影的流形是同构的，即 $ X^{an} \cong Y^{an} $. 可以进一步得出它们具有同样的拓扑空间。
(3) $X$ 上的向量丛( $X$ 是光滑射影曲线)：具有给定陈类的向量丛。（陈类也是拓扑不变量）
陈类告诉我们两个信息：向量丛的秩和向量丛的 degree.
假设 $E$ 是 $X$ 上的陈类，那么 $\deg E = \deg (C_1(E)) = \deg(\det(E))$, 其中 $\det(E) = \bigwedge_{}^{\text{rank}\ E} E$.
动机
moduli = “objects” + “equivalent classes”
$k=\bbC$, conics in $\bbP_k^2$ , 分类所有 $\bbP_k^2$ 上的 conics. 这也等价于 $k[x_0,x_1,x_2]$ 里的所有 homogeneous quadrics 模掉一个等价关系，即
$$ \left\{ q=\sum_{i+j+k =2} a_{ijk} x_0^i x_1^j x_2^k \right\}/\sim $$
其中 $a_{ijk} \in \bbC$, 并且 $q\neq 0$. “$\cong$” $\bbP^5 = \{[a_{ijk}]\}$ 作为集合。
问题：如何去看待这些结构？（课程的目标之一）
$k=\bbC$ 上的 conics in $\bbP_k^2$, 分类 $\bbP_k^2$ 上的 conics 同构类。
只有三种 Irreducible, reducible and reduced, non-reduced.
它也有一个非常自然的代数结构。
问题：如何赋予结构？（来自 Grothendieck）
我们之前在集合上加法则，得到了群，环，模，拓扑，流形，簇，概形。
范畴论：群，环，模的范畴。
现在我们把结构看作是一个范畴。
$X$ 是一个簇的信息可以完全由 $\rmHom(X,Y)$ 告知，其中 $Y$ 是一个簇。Yoneda 引理。
亏格为 $g$ 的光滑射影复曲线的模空间记为 $\calM_{g,\bbC} = \{C/\bbC ,\text{sm proj} , g(C) = g\}$.
设 $B$ 是一个 $\bbC$ 概形，那么亏格为 $g$ 的光滑射影复曲线的 family 的模空间记为 $\calM_{g,B}=\{C \xrightarrow{\pi} B \mid \pi \ \text{sm proj} , g(\text{1-dim fibre}) = g\}$.
观察到 $\calM_{g,B} \approx \rmHom(B,\calM_{g,\bbC})$. 集合上是等号。因为给定一个 $\pi : C \to B \in \calM_{g,B}$, 我们都可以定义一个 $\tau: B \to \calM_{g,\bbC}, b\mapsto \pi^{-1}(b)$. 称为 moduli map. 但是我们不知道 $\rmHom$ 是在哪个范畴里，理想情况是概形范畴。
$\calM_{g,B}$ 是模空间。
模函子 $ \calM_g: \bbC \text{-schemes} \to \text{Sets} , B \mapsto M_{g,B}$
$M_{g,B}$ 上的结构可以诱导 $\calM_{g,B}$ 上的结构。
如果 $M_{g,\bbC}$ over $B$ 有概形结构 $\iff$ $\calM_g$ 是可表函子的。
$\calM_g$ 不可表（$g\ge 2$），那 $\calM_g$ 没有一个概形结构。$M_{g,\bbC}$ 有一个概形结构，称为粗模空间。
$\bbP^2$ 里光滑 cubics 的模空间模去同构等价关系。
$$\left\{ \sum_{i+j+k= 3} a_{ijk} x_0^i x_1^j x_2^k\right\}/\sim \wedge \text{Jacobin} \neq 0 =: \calU/\sim$$
设 $X,Y\subseteq \bbP^2$ cubic, $X\cong Y \iff \exists h \in PGL(3) = Aut(\bbP^2)$ 使得 $ h|_X \mapsto Y $. 所以最后 $\calU/PGL(3) \simeq \bbA^1$
课程内容到此处结束！
补充内容
我们来分类 $\bbC^{n+1}$ 中过原点的直线。我们都知道 $$ \bbP^n = \{l \mid l \ \text{是} \ \bbC \ \text{中过原点的直线} \} \tag{a1} \label{eq:a1}$$
但是这还不够。因为 $\ref{eq:a1}$ 右边只是一个集合。作为集合确实和 $\bbP^n$ 相同。我们更想知道它有没有概形的结构？
如果考虑 $\bbC^2$ 里过原点的直线。我们定义 $L_t = [1:t]$，这是一族 $\bbA$ 参数化的直线, 我们期望 $\bbP^1$ 上的概形结构可以满足映射 $$\bbA^1 \to \bbP^1, t\mapsto L_t$$ 是概形间态射。
更一般，如果我们考虑 $\bbP^n$, 我们希望有以下对应 $$ \text{由概形} \ X \ \text{参数化的一族直线} \leftrightarrow \ \text{态射} X \to \bbP^n$$
我们希望如果知道了对于任意概形 $X$ 及态射 $X \to \bbP^n$, 我们就可以窥见 $\bbP^n$ 的结构。当然这根据 Yoneda 引理，我们确实可以做到。
任务优先