曲线嵌入到射影空间

主要结果

任意曲线都能够嵌入 $\mathbb{P}^3$.

任意曲线都双有理等价于一个奇点只有结点的平面曲线。

正文

设 $D$ 是 $X$ 上的一个除子。那么
(a) 完全线性系 $|D|$ 没有基点当且仅当对任意点 $P\in X$ 有 $$\dim |D-P| = \dim |D| -1.$$
(b) $D$ 是 very ample 当且仅当对于任意两个点 $P,Q\in X$, 有 $$\dim |D-P-Q| = \dim |D| -2.$$

设 $D$ 是曲线 $X$ 上亏格为 $g$ 的除子。那么
(a) 如果 $\deg D \ge 2g$, 那么 $|D|$ 没有基点。
(b) 如果 $\deg D \ge 2g +1$, 那么 $D$ 是 very ample 的。

主要用到了 Riemann-Roch 定理和例题。
(a) $l(D-P) = \deg (D-P) + 1 -g = \deg D+1-g -1 = l(D) -1$. 故 $\dim |D-P| = \dim |D|-1$.
(b) 类似。

一个曲线 $X$ 上的除子 $D$ 是 ample 的当且仅当 $\deg D >0$.

因为一个除子 $D$ 是 ample 的当且仅当存在 $n>0$ 使得 $nD$ 是 very ample 的，再利用推论 (b)，就可以得到。

设 $X$ 是 $\mathbb{P}^n$ 的一条曲线。设 $O\not\in X$，并且设 $\varphi :X \to \mathbb{P}^{n-1}$ 是从 $O$ 点出发的投影。那么 $\varphi$ 是闭浸入当且仅当
(1) $O$ 不在 $X$ 的任意割线上。
(2) $O$ 不在 $X$ 的任意切线上。

如果 $X$ 是 $\mathbb{P}^n$ 的一条曲线，并且 $n\ge 4$, 那么存在一个点 $O\not\in X$ 使得从 $O$ 的投影给出了一个 $X$ 到 $\mathbb{P}^{n-1}$ 的闭浸入。

任意曲线都能够嵌入 $\mathbb{P}^{3}$.