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$A(\bbC)$ 是复环面 #
设 $A$ 是域 $\bbC$ 上的一个维数为 $g$ 的 Abel 簇。
(a) 存在一个唯一的复流形之间的同态 $$\text{exp} : \text{Tgt}_0(A(\bbC)) \to A (\bbC)$$ 使得对任意 $v\in \text{Tgt}_0(A(\bbC))$, $z \mapsto \exp(zv)$ 是一个对应于 $v$ 的单参数子群 $\varphi_v : \bbC \to A(\bbC)$.$\exp$ 在 $0$ 处的微分是恒等映射 $$ \text{Tgt}_0(A(\bbC)) \to \text{Tgt}_0(A(\bbC)).$$
(b) 映射 $\text{exp}$ 是满射，它的核是 $\text{Tgt}_0(A(\bbC))$ 里的一个 full lattice.
(a) 存在一个唯一的复流形之间的同态 $$\text{exp} : \text{Tgt}_0(A(\bbC)) \to A (\bbC)$$ 使得对任意 $v\in \text{Tgt}_0(A(\bbC))$, $z \mapsto \exp(zv)$ 是一个对应于 $v$ 的单参数子群 $\varphi_v : \bbC \to A(\bbC)$.$\exp$ 在 $0$ 处的微分是恒等映射 $$ \text{Tgt}_0(A(\bbC)) \to \text{Tgt}_0(A(\bbC)).$$
(b) 映射 $\text{exp}$ 是满射，它的核是 $\text{Tgt}_0(A(\bbC))$ 里的一个 full lattice.
如果 $A$ 是 $\bbC$ 上的 Abel 簇，那么 $A(\bbC) \approx \bbC^g / L$.
不是所有 $\bbC^g/ L$ 都有一个对应的 Abel 簇。
我们考虑以下的复环面 $X= V/L$, 其中 $V$ 是一个复向量空间， $L$ 是 $V$ 的一个 full lattice.
函子 $A \mapsto A(\bbC)$ 是从 $\bbC$ 上 Abel 簇构成的范畴到可极化复环面范畴的范畴等价。
也就是说在复数域上，我们可以将可极化的复环面和 Abel 簇等同起来。注意一个可极化复环面可能有很多种极化方式，不唯一。注意区分可极化复环面和极化复环面，如果我们说极化复环面一般指定 $X$ 上的黎曼形式 $E$， 也就是固定一个黎曼形式了。
两个可极化复环面之间的 isogeny 定义为有限核的满射。这个 isogeny 的次数定义为核里元素的个数。两个可极化复环面称为 isogenous 的，如果存在 $X\to Y$ 的 isogeny.
isogeny 是一个等价关系。
对偶复环面 #
设 $X=V/L$ 是一个可极化的复环面，那么我们定义
$$V^* = \{f: V \to \bbC | f(\alpha v) = \overline{\alpha} f(v), f(v+v’) = f(v) + f(v’)\}$$
是和 $V$ 相同维数的复空间。
我们定义 $$L^* = \{f \in V*| \mathrm{Im} \ f(L) \subseteq \bbZ\}.$$
那么 $L^*$ 是 $V^*$ 的 full lattice.
设 $X$ 是一个可极化复环面，$X^\vee = V^*/ L^*$，那么 $X^\vee$ 是一个可极化的复环面，称为 $X$ 的对偶复环面。
设 $X= V/L$ 是可极化复环面，那么 $X_m:= m^{-1}L/L$ 是 $X$ 的子群。其每个元素 $x$ 都满足 $mx =0$. 证明存在一个典范配对 $$X_m \times (X^\vee)_m \to \bbZ /m \bbZ.$$ 这个配对称为 Weil 配对。
设 $X$ 是一个可极化的复环面。如果我们固定一个黎曼形式 $E$, 那么我们可以定义 \begin{aligned} \lambda_R: X &\to X^\vee \\ v &\mapsto H(v,\cdot): V \to V^*, \end{aligned}
其中 $H$ 是 $E$ 对应的 Hermitian 形式。这个 $\lambda_E$ 是一个 isogeny, 称为 $X$ 的一个极化。$\lambda_E$ 的次数定义为 $\mathrm{Ker}\ \lambda_E$ 种元素个数。如果 $\deg \lambda_E=1$, 则称 $\lambda$ 为主极化。
其中 $H$ 是 $E$ 对应的 Hermitian 形式。这个 $\lambda_E$ 是一个 isogeny, 称为 $X$ 的一个极化。$\lambda_E$ 的次数定义为 $\mathrm{Ker}\ \lambda_E$ 种元素个数。如果 $\deg \lambda_E=1$, 则称 $\lambda$ 为主极化。
所有可极化的复环面都一定和一个主极化的复环面是 isogeny 的。
一个可极化的复环面称为单的，如果它没有一个非平凡可极化复子环面。（$0$ 和它本身称为平凡的）
所有可极化复环面都与一些单的可极化复环面的直和是 isogeny 的。