等变范畴(Equivariant Categories)

设 $\calD$ 是一个 $k$ 线性的加性范畴。$G$ 是一个有限群。我们定义 $G$ 在 $\calD$ 上的 through data $(\rho,\sigma)$ 的群作用。

(i) 对于任意 $g\in G$, 一个自等价 $\rho_g : \calD \to \calD$.

(ii) 对于任意 $g,h \in G$, 有一个自然同构 $\rho_g: \rho_g \circ \rho_h \to \rho_{gh}$ 满足以下 cocycle 条件：对于任意 $g,h,k \in G$, 以下图交换

等变范畴 $\calD_{G,\rho,\sigma}$ 包含以下资料：

(i) 对象：$(E,\theta)$ 其中 $E\in \calD$, $\theta= \{\theta_g: \rho_g(E) \to E \}_{g\in G}$.满足以下条件：对于任意 $g,h \in G$, 以下图交换

(ii) 态射：从 $(E,\theta)$ 到 $(E’, \theta’)$ 的态射是 $\phi:E \to E’$ 满足

$$ \phi \circ \theta_g = \theta_g’ \circ \rho_g(\phi), \forall g\in G.$$