代数空间和代数叠(algebraic spaces and stacks)

准备知识：(1) 可表态射 (2) 代数空间。它们都是概形理论的推广。

一个预叠 $\mathcal{S} \to \mathcal{C}$ 是 representable by $B \in \mathcal{C}$ 如果 $ \mathcal{S} \to \mathcal{C} \cong \operatorname{Hom}(-,B)$.

设 $X$ 是一个概形， $\mathcal{S}_X \to Sch$,
对象： $U \to X$
态射：

$\forall \mathcal{X} \to \mathcal{Z}, \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$ CFG.

The $2$-fibred product $\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$

对象： $(U,x,y,\alpha), U \in \mathcal{Z}$, $x \in \mathcal{X}(U), (\mathcal{X}(U) = p^{-1}(U))$, $y\in \mathcal{Y}(U), ( \mathcal{Y}(U) = q^{-1}(U))$
$\alpha: p(x) \cong q(y) \in \text{Mor}_\mathcal{Z}(p(x),q(y))$.

态射：a compatible diagram.

态射

称为可表态射，如果对于任意态射 $U=\operatorname{Hom}(-,U) \to \mathcal{Z}$, $ 2 $ -fibred product $X \times_\mathcal{Y} U \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$ 是可表的，其中 $U \in \mathcal{Z}$.

我们后面将会看到对于代数叠（其中 $\mathcal{Z}= Sch_{ét}$)

我们可以通过这个纤维积来定义各种 notions of morphisms, 例如 $f$ 具有性质 $P$ 如果对于任意 $U \to \mathcal{Y}$, $f_U$ 具有性质 $P$.

（Diagonal）对任意 $\mathcal{ S} \to \mathcal{C}$ 我们有态射 $\Delta: \mathcal{S} \to \mathcal{S} \times_\mathcal{C} \mathcal{S}$

Fact: $\forall U \to \mathcal{S} \times \mathcal{S},U \in \mathcal{C}$.

如果 $\mathcal{S} \to \mathcal{C}$ 是一个预叠，那么 $\underline{\text{Isom}(X,Y)}$ 是层。不一定是可表的。

(i) $\Delta$ 是可表的 $\iff$ $\underline{\text{Isom}(-,-)}$ 对于任意 $(-,-)$ 是可表的。

(ii) 如果所有可表函子都是 sheaf, 那么 $\Delta$ 是可表的 $\iff$ $\mathcal{S} \to \mathcal{C}$ 是预叠。

参考 $2$-Yoneda Lemma.

$\mathcal{S} \to \mathcal{C}$ 是一个 CFG, $U \in \mathcal{C}$，那么存在一个等价

$$
\Phi: \text{Mor}(\mathcal{C}/ U, \mathcal{S}) \xrightarrow{\sim} \pi^{-1}(U) = \mathcal{S}_U
$$

$\Phi(f) = f(\text{id}_U)$

那么我们有

设 $\mathcal{S} \to Sch_{Zariski, étale,sm, fppf}$ 是一个预叠。

为什么选择 étale？

$\mathcal{S} \to Sch_{Zariski}$ 是一个叠并且 $\mathcal{S}$ 满足 descent axioms along affine étale morphism(affine local datum $\implies$ $\exists$ global section) $\iff$ $\mathcal{S} \to Sch_{étale}$ 是一个叠。

$X$ 代数空间 $=$ quotient of a Scheme by an étale relation. i.e. $X \cong Y / R$, 其中 $R$ 是一个 étale relation( $R \subseteq Y \times Y$ 并且 $R \to Y$ 是 étale 的). $=$ glued by affine schemes in étale topology.

设 $S$ 是一个概形。一个 over $S$ 的代数空间是一个层 on site $(Sch/S)_{étale}$ 使得
(1) $\Delta: X \to X \times X$ 是可以被概形表示。

回忆： $f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$ 可表如果对任意 $U \in Sch$,

$\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} U$ 是可以被概形表示的。

(2) 存在一个概形 $Y$ 和一个满，étale态射 $Y \to X$. i.e. $\forall U \to X, U \in Sch$

($Y \times_X U$ 是一个概形，因为 $\Delta$ 可以被概形表示。）

$X \cong Y/R$ admits a natural étale atals $Y \to X$ ((2) is staisfied)

$\Delta: X \to X \times X$.

(2) 是否存在代数空间但不是概形的例子。

存在例子 $\dim \ge 3$.( from hiranaka)

family of 四次曲面： $X \subseteq \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^3$ Lefschetz pencil of quatic surface.
$X = \{ f(s,t,x_0,\dots, x_3) = 0, \text{bidegree} \ (1,4) \} \to \mathbb{P}^1$. 观察到 $X$ 是射影的。

$\pi$ 不是光滑的。 $sing(\pi) = X \cap \{\partial_{x_i} f = 0\} \neq \varnothing$

$\exists$ a sintaneous resolution $X \to \mathbb{P}^1$

其中 $\pi’$ 是光滑的。
$Y$ 不是射影的。如果 $Y$ 是摄影的，那么存在 $L \in Pic(Y)$ ample. 可以推出 $L|_{Y_t}$ 是 ample $\implies $ $L|_{Y_t} \cong i^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^e} (1)$.

取 $X$ very general 使得 $X_t$ 有 Picard number, $X_t \subseteq \mathbb{P}^3$, i.e. $Pic(X_t) \cong \mathbb{Z} \cong \langle i^* \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3(1) \rangle$.

取 $L|_{Y_{sing}}$, 那么它不是 ample 的。

$Y_{t_0} \to X_{t_0}$ 其中 $X_{t_0}$ 是奇异四次曲面。所以矛盾。

over $Sch$ 的预叠间的态射 $\mathcal{X} \to \mathcal{Y}$ 称为被概形表示（schematic），如果对于任意态射 $T \to \mathcal{Y}$（$T$ 是一个概形），有纤维积 $\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} T$ 是一个概形。

一个代数空间是 $Sch_{ét}$ 上的层 $X$ 使得存在一个概形 $U$ 和可以被概形表示的满 étale 态射 $U \to X$。这个态射 $U\to X$, 我们称为 étale 表示。

代数空间之间的态射就是层之间的态射。概形是代数空间。

over $Sch$ 的预叠间的态射是可表的如果对于任意态射 $T \to \mathcal{Y}$($T$ 是概形), 纤维积 $X \times_\mathcal{Y} T$ 是一个代数空间。

一个 Deligne-Mumford 叠是一个叠 $\mathcal{X}$ over $Sch_{ét}$ 使得存在一个概形 $U$ 和满，étale，可表态射 $U \to \mathcal{X}$.

一个代数叠是一个叠 over $Sch_{ét}$ 使得存在一个概形 $U$ 和一个满，光滑和表示态射 $U \to \mathcal{X}$.

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