设 $\calC$ 是一个范畴，通常是 $\text{Sch}/\calB$ 或者流形的范畴，或者代数空间。一个模函子
$$ \calM :\calC^{op} \to \text{Sets} $$
是一个逆变函子，定义为
(1) 对任意 $S\in \calC$, $\calM(S)$ 是 over $S$ 的模空间 of “(*)”. $\{\pi : X \to S, \text{满足} (*)\} \sim $.
(2)（基变换） 对任意 $S’ \to S$, $S,S’ \in \calC$.
$$ \calM(S’ \xrightarrow{f} S) = \calM(S) \xrightarrow{\calM(f)} \calM(S’) $$
compatible with base change in $\calC$.
$\sim$ 通常是一个等价关系，例如 “isomorphic classes”, “geometric isomorphic classes”.
如果 $S= \text{Spec} \ k$, $\calM(S) = \{X/k\}/\sim$. 这里 $\sim$ 就有很多种。
- $\sim$ = Iso， 这就等价说 $\calC/k(\text{Sch}/k)$ 里的同构。
- $\sim$ = Geo iso, $X_\overline{k} \cong X_\overline{k}’$.
如果 $\calM$ 是可表函子，被 $M\in \calC$ 表示。我们称 $M$ 是一个 fine moduli space of $\calM$.
Obstruction for being a fine moduli space.
主要来源于自同构。如果等价关系能够导致自同构非常少，那么这就是很好的模空间了。
例子很少。
(i)希尔伯特概形。
(ii) stable 层的模空间。
(1) $\calM$ 是可表的(也就是说 $\calM$ 是 fine 模空间) $\implies$ $\forall x \in M$, $\text{Aut}(X) = \{\text{Id}\}$.
其中 $\text{Aut}(X)=\{g: X \sim X\}$ 依赖于你的模函子。
(2) 如果 $\calM$ 是 good $\implies$ $\forall X \in M$, $\text{Aut}(X)$ 是 reductive.
(3) $|\text{Aut}| < + \infty$ 意味着存在 course moduli space.
(1) 三角的模空间, $$\begin{aligned} \calM(\text{pt}) &= \{\text{所有三角形}\}/\cong \\ &= \{a,b,c\in \bbR_{>0}, a+b>c,a+c>b,b+c>a\} / S_3 \end{aligned}$$
$\calM(S^1)$, 这里 $S^1$ 是一个圆
Take $2$ dominants $\in \calM(S^1)$, 例如 $\Delta \times S^1 \xrightarrow{\pi_1} S^1$. 这里 $\Delta$ 是一个全等三角形。
或者选一个 $X_\Delta \xrightarrow{\pi_2} S^1$, 这里 $X_\Delta$ 会沿着 $S^1$ 旋转。
如果 $\calM_\Delta$ 是可表函子，那么 $\pi_1,\pi_2$ 将会被 moduli map
$$ B=S^1 \to \calM(\text{pt}) $$
唯一决定。
在我们的例子里，
$$ \begin{aligned} S^1 &\xrightarrow{\pi^*} \calM(\text{pt})\\ p&\mapsto \pi_1^{-1}(p) = \Delta \ \text{ is a trivial map}\end{aligned}$$
$\pi_2^*$ 也是一个平凡映射。那么应该有 $\pi_1^* = \pi_2^*$ ，但是两者不同。
设 $\calM_{1,1}$ 是椭圆曲线的模空间。
$$ \calM_{1,1} (\text{pt}) = \{(E,O),g(E) =1,O\in E\} /\cong $$
其中 $(E,O) \cong (E’,O’)$, 如果存在 $f:E \cong E’$ 使得 $f(O) = O’$.
设 $S\in \text{Sch}$, $\begin{aligned}\calM_{1,1}(S) &= \{ \text{family of elliptic curve}\}/\cong \\ &= \{\pi : \calE \to S, s:S \to \calE, \ \text{sm family, relative dim} \ =1, \\ &\qquad \text{genus of a fiber}\ =1, s \ \text{a section of} \ \pi\} \end{aligned}$
$\calM_{1,1}$ 不是 fine 的，因为存在一些 $(E,O)$, $\text{Aut}(E,O) \neq \{\text{Id}\}$
例如 $E_0:x_0^3+ x_1^3+x_2^3 = 0$, $(E,\infty)$ 就可以考虑成. 构造两个非同构族，它们的模映射是相同的。
选取 $B\in \text{Sch}$ 使得 $\text{Aut}(B)$ 非常大，例如 $B= \bbP^n$. 这是一个平凡映射。
取 $\pi_1:E_0 \times B \to B$, $\pi_2:(E_0\times B)/G \to B/G$ 其中 $G\le \text{Aut}(E_0)$ 且 $G \le \text{Aut}(B)$ , $|G|<+ \infty$. 这是一个非平凡的映射。
(1) 希尔伯特概形
Grassimanian 函子。给定一个向量空间 $V/k$, 并且 $\dim V>r \in \bbZ_{>0}$, 那么我们定义 $$ \text{Gr}(r,V) := \{W\subseteq V, \dim(W) =r\} $$
如果 $r=1$，那么 $\text{Gr}(r,V) = \bbP(V)$.
当 $k = \bbR$ 的时候， $\text{Gr}(r,V)$ 是一个光滑。如果 $k = \bbC$, $\text{Gr}(r,V)$ 是光滑复流形。
考虑 $\text{Gr}:\text{Sch} \to \text{Sets}$, $$ \text{Gr}(B) = \{\pi :E \to B, \ \text{vector bundle over} \ B \ \text{rank} \ r\}$$
我们希望 $E\subseteq B \times V$. $(r,V)$.
换一个定义：利用层理论。
$\text{Gr}(B) = \{\scrF \hookrightarrow\bigoplus_{i=1}^{n}\calO_B, \ \text{locally free}\}=\{\bigoplus_{i=1}^{n}\calO_B \twoheadrightarrow \calE,\text{rank} = n-r\}$
$\text{Gr}$ 可以被 $\text{Gr}(r,n)_k \cong \text{Gr}(r,V)$ 表示。 $\text{Gr}$ 是可表函子。
$r=1$
一般的情况，$\forall I \subseteq \{1,\dots, n\}$, $|I| = n-r$. 定义 $\text{G}_I \subseteq \text{Gr}$ 是 $\text{Gr}$ 的子函子。
$$ \text{G}_I : \text{Sch} \to \text{Set} $$ $\text{G}_I(B) \subseteq \text{Gr}(B)$.
我们可以考虑 $ \text{G}_I(B) = \{ \bigoplus_{i=1}^{n} \calO_B \mathop{\twoheadrightarrow}\limits^f \calE $ 使得投影 $\pi:\bigoplus_{i=1}^{n} \calO_B \to \bigoplus_{}^{n-r} \calO_B$, 诱导映射 $\bigoplus_{}^{n-r}\calO_B \xrightarrow{f|_I} \calE$ 是同构 $\}$.
我们 claim (1) $G_I$ 可以被一个 affine space 表示。$X_I \cong \bbA^{r(n-r)}$.
(2) (1) 是典范的，等价于 $\text{G}_I$ 可以被 glued $\iff$ $X_I$ 可以被 glued.
(3) $\text{Gr}$ 可以被 $\coprod_{}^{}X_I = \text{Gr}(r,n)$
(1) 是从何而来的呢？ $G_I \cong \Gamma_I$ 其中 $\Gamma$ 是以下函子
$$ \begin{aligned}\Gamma_I: \text{Sch} &\to \text{Set} \\ B &\mapsto \prod_{i\notin I}\Gamma(B,\bigoplus_{}^{n-r}\calO_B)\end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} G_I(B) = \{ \calO_B^{\oplus n} &\twoheadrightarrow \calO_B^{\oplus I} \cong \calE \} \\ & =\{\calO_B^{\oplus n} \mathop \twoheadrightarrow \limits^ q\calO_B^{\oplus I} \cong \calO_B^{\oplus n-r}\} \end{aligned} $$ 因为这是一个满射，所以 $q(e_i)$ 都被固定住了， $i\in I$.
$\Gamma_I \cong \prod_{i=1}^{r} \Gamma(-)^{\oplus n-r} \cong \bigoplus_{r(n-r)}^{} \Gamma(-)$ ， 其中 $\Gamma: \text{Sch} \to \text{Set}, B \mapsto \Gamma(B,\calO_B)$.
∎$\Gamma$ 被 $\bbA^1$ 表示。因为 $\Gamma(B,\calO_B) $ 一一对应 $\rmHom(B,\bbA^1) = \rmHom(\bbZ[x], \Gamma(B,\calO_B)$
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