预叠的一些例子

考虑 $F: \calS^{op} \to \text{Sets}$ 是一个逆变预层，我们可以构造以下的预叠 $\calX_F:\calX_F \to S$, 这里的 $\calX_F$ 是由对象 $(a,S)$ 构成，其中 $a\in F(S), S\in \calS$. 从 $(a,S)$ 到 $(a’,S’)$ 的态射为 $f:S \to S’$ 使得 $F(f)(a’) = a$. 我们也将 $F(f)$ 记为 $f^*$.

问题：这个 $f$ 是唯一的吗？应该不是。

我们定义 $\calX_F: (a,S) \mapsto S$. fiber 范畴 $\calX_F(S)$ 等价于 $F(S)$. 所以我们有时会不区分 $\calX_F(S)$ 和 $F(S)$.

设 $X$ 是一个概形，因为 Yoneda lemma – Wikipedia 里的 Yoneda 嵌入，我们知道 $h_X=\rmHom(-,X)$ 包含了 $X$ 的所有信息。所以我们可以将 $X$ 看作一个预层 $h_X$.

那么根据例题 ， $h_X$ 是一个预叠，我们有时也会将其记为 $\calX_X$.

我们定义预叠 $\calM$ over $\text{Sch}$ 为以下范畴：

(1) 对象是概形间光滑和 proper 态射 $\calC \to S$, 并且几何纤维（参考：geometric fibre in nLab）都是连通曲线（曲线指的是一维簇）。

(2) 从 $(\calC \to S)$ 到 $(\calC’ \to S’)$ 的态射，我们定义为 $\alpha:\calC \to \calC’$ 和 $f:S \to S’$ 使得下图是一个纤维积

预叠 $\calM:(\calC \to S) \mapsto S$

我们定义 $\calM_g$ 为 $\calM$ 的由几何纤维都是亏格为 $g$ 的曲线的对象 $\calC \to S$ 构成的全子范畴 。$\calM_g$ 也是预叠。

纤维范畴 $\calM_g(\mathbb{k})$ 是$\mathbb{k}$ 上光滑，连通和射影的亏格为 $g$ 的曲线，并且满足 $\rmHom_{\calM_g(\mathbb{k})}(C,C’) = \text{Isom}_{\text{Sch}/ \mathbb{k}}(C,C’)$ 构成的范畴，它是一个广群。

设 $X$ 是域 $\mathbb{k}$ 上的概形。我们定义预叠 $\underline{\text{QCoh}}(X)$ over $\text{Sch}/\mathbb{k}$ 为以下范畴

(1) 对象为 $(E,S)$ 其中 $S\in \text{Sch}/ \mathbb{k}$, $E$ 是 $X_S$ 上的拟凝聚层。

(2) 从 $(E,S)$ 到 $(E’,S’)$ 的态射为 $f:S \to S’$ 和同构 $f^*E’ \to E$.

投影定义为 $(E,S) \mapsto S$.

$\underline{\text{Coh}}(X)$ 是 $\underline{\text{QCoh}}(X)$ 的全子范畴，由 $X_S$ 上的有限表示和拟凝聚层构成。类似的 $\underline{\text{Bun}}(X)$ 是 $\underline{\text{Coh}}(X)$ 的全子范畴，由 $X_S$ 上的向量丛构成。

$\underline{\text{QCoh}}(X),\underline{\text{Coh}}(X), \underline{\text{Bun}}(X)$ 都是预叠。