设 $\calS$ 是一个概形并且 $p:\calX \to \calS$ 是概形间的函子。接下来，我们用小写字母来指代 $\calX$ 中的元素，用大写字母指代 $\calS$ 中的元素。
例如下图
我们称 $\alpha$ 是 over $S$ 的， 称 $\alpha$ 是 over $f$ 的。
函子 $p:\calX \to \calS$ 称为预叠，如果
(1) （存在拉回）对于任意图
都存在 $\calS$ 中 $\alpha$ over $S$ 和态射 $a\to b$ over $S\to T$, 使得下图交换
(2)（拉回的泛性质）对于任意交换图
那么存在唯一的态射 $a\to b$ 使得下图交换
预叠定义里的 (1) 中的 $a$ 和 $a\to b$ 一定是唯一的。 因此我们可以用 $f^*b$ 来指代 $a$..
假设存在两个 $ a,a’ $ 使得下图交换
根据 (2) 我们可以得到两个唯一的态射 $\beta:a \to a’,\gamma: a’ \to a$.
根据图
我们利用泛性质可以得到 $\beta\circ \gamma =\text{id}_{a’}, \gamma \circ \beta = \text{id}_{a}$. 到此结束。
∎如果 $\calX$ 是 $\calS$ 上的预叠。那么我们可以定义 fiber 范畴 $\calX(S)$ over $\calS$，其中 $S\in \calS$ 为
(1) 对象是 $\calX$ over $S$, 即所有 $a \mapsto S$.
(2) 从 $a$ 到 $b$ 的态射为
若范畴 $\calC$ 中的所有态射都可逆，则称之为广群。
fiber 范畴 $\calX(S)$ 是广群。
因为我们肯定由交换图
再利用定义里 (2), 那么就有图交换
那么自然有 $\alpha \circ \beta = \text{id}_b$, 到此即得。
∎预叠的态射
(1) 预叠间的态射 $f: \calX \to \calY$ 是一个范畴间的函子使得以下图严格交换
即 $\forall a \in \calX$, $p_\calX(a) = p_\calY(f(a))$.
(2) 设 $f,g : \calX \to \calY$ 是预叠之间的态射，一个 $2$-同构 $\alpha:f \to g$ 是如下的自然变换使得 $\forall a \in \calX, \alpha_a : f(a) \to g(a)$ （这是一个同构）在 $\calY$ 上是 over $\text{id}_S$ 的。即有下图
我们可以把这样一个 $2$-同构记为下图
(3) 设 $\calX$ 和 $\calY$ 是两个预叠，我们定义范畴 $\text{Mor}(\calX, \calY)$, 它的对象是从 $\calX$ 到 $\calY$ 的态射。
$\text{Mor}(\calX, \calY)$ 的态射是 $\alpha: f\to g$ 这样的 $2$-同构。
(4) 一个 $2$-交换图是下图
并且有一个 $2$-同构 $\alpha: g’\circ f \to f’ \circ g$.
(5) 设 $f: \calX \to \calY$ 是预叠间的态射。
- 如果 $f$ 是全忠实的，那么称 $f$ 是单态射。
- 如果 $f$ 是本质满的，那么称 $f$ 是满态射。
- 如果存在态射 $g: \calY \to \calX$ 和 $2$-同构 $g \circ f \xrightarrow{\sim} \text{id}_\calX$ 和 $ f\circ g \xrightarrow{\sim}\text{id}_\calY$，那么称 $f$ 是同构。
$2$-同构确实是函子的同构，所以 $\text{Mor}(\calX, \calY)$ 是广群。
因为我们有图
那我们就有了 $\alpha_a \circ \beta_a = \text{id}_{g(a)}$.
注意到 $\alpha_a \circ \beta_a \circ \alpha_a = \text{id}_{g(a)} \circ \alpha_a = \alpha_a$.
因为 $\alpha_a = \alpha_a \circ \text{id}_{f(a)}$.
所以有 $$\alpha_a \circ \text{id}_{f(a)} = \alpha_a \circ (\beta_a \circ \alpha_a)$$
再利用以下预叠定义(2) 里的泛性质，所以 $\text{id}_{f(a)} = \beta_a \circ \alpha_a$.
所以 $\alpha$ 是函子同构。
∎设 $\calX$ 是 over $\calS$ 的预叠。设 $S \in \calS$, 那么我们定义 localized category $\calS/S$ 为对象是 $T\to S$ in $\calS$, 和态射都是 $S$-态射。
(a) 证明对于任意 $a,b \in\calX$ over $S$, 以下函子
$$ \begin{aligned} \underline{Isom}_{\calX(S)}(a,b): \calS/ S &\to Sets\\ (T\xrightarrow{f}S) &\mapsto \text{Mor}_{\calX(T)} (f^* a, f^*b) \end{aligned}$$ 是一个预层。（后面我们定义叠的时候，这个等价于条件 (1)).
任务优先