理想层

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Sheaf of ideals #

定义

设 $(X,\calO_X)$ 是一个概形。设 $\scrI$ 是 $\calO_X$ 的一个子层，使得对于任意开集 $U\subseteq X$ , $\scrI(U)$ 都是 $\calO_X(U)$ 的理想，那么我们称 $\scrI$ 是 $X$ 上的 sheaf of ideals.

定义

设 $Y$ 是 $X$ 的闭子概形，设 $i: Y \to X$ 是一个闭浸入。我们定义 $Y$ 对应的 ideal sheaf, 记为 $\scrI_Y$ 为以下态射的核 $$i^\# : \calO_X \to i_*\calO_Y$$

注意到 $i^\#$ 是满射（因为这是闭浸入）。那么我们就有了以下正合列 $$0 \to \scrI_Y \to \calO_X \to i_*\calO_Y \to 0.$$

命题

设 $X$ 是概形。对于 $X$ 的任意闭子概形 $Y$，$Y$ 对应的 ideal sheaf $\scrI_Y$ 是 $X$ 上的拟凝聚 sheaf of ideals.

如果 $X$ 是诺特概形，那么 $\scrI_Y$ 就是 $X$ 上的凝聚 sheaf of ideals.

反过来，对于任意拟凝聚 sheaf of ideals on $X$ 都存在唯一一个 $X$ 的闭子概形 $Y$ 的 ideal sheaf 和其相同。

更新 2026年2月23日

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