数列和点列的极限
我们通常用 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 来表示一列数(有顺序)$x_1, x_2, \cdots, x_m, \cdots$ 并且将它称为数列. 一个数列实际上就是一个映射 \[f\colon \mathbb{Z}{\geqslant 1}\rightarrow \mathbb{R}, \ \ k\mapsto f(k)=a_k.\] 同样的, 给定一个映射 \[f\colon \mathbb{Z}{\geqslant 1}\rightarrow X, \ \ k\mapsto f(k)=x_k, \] 其中 $(X, d)$ 是一个距离空间, 我们就得到了距离空间中的一个点列. 如果把 $\mathbb{R}$ 看成是距离空间的话(我们之前已经这样做了), 那么数列只是点列的一个特殊情况.
假设 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 是实数序列. 如果存在 $x\in \mathbb{R}$, 使得对任意的 $\varepsilon>0$, 总存在 $N\geqslant 1$, 使得对任意的 $n\geqslant N$, 我们都有
\[|x_n-x|<\varepsilon, \]
那么, 我们就说数列 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 有极限 并把 $x$ 称作是数列 $\{x_n\}$ 的极限, 记作 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=x$. 如果数列 $\{x_n\}$ 有极限, 我们还说它是收敛的.
我们直观上总是认为 $\varepsilon$ 是非常小的数, $N$ 是非常大的数
- 上述定义中的 $N$ 是在 $\varepsilon$(任意的)选定之后再选择的, 它通常依赖于 $\varepsilon$ 的大小, 我们有时候也写成 $N=N(\varepsilon)$ 来表示这种依赖性.
- 上述定义就是想描叙下面的直观:无论 $\varepsilon$ 有多么小, 总存在很大的 $N$, 使得从数列的第 $N$ 项开始, 数列的每个数都和 $x$ 的误差不超过 $\varepsilon$(离着 $x$ 很近).
把数列的极限的概念推广到距离空间是轻而易举的事情:
$\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 是度量空间 $(X, d)$ 中点的序列, 如果存在 $x\in X$, 使得对任意的 $\varepsilon>0$, 总存在 $N\geqslant 1$, 使得对任意的 $n\geqslant N$, 我们都有
\[d(x_n, x)<\varepsilon, \]
那么就称点列 $\{x_n\}$ 在 $(X, d)$ 中有极限的, $x$ 称作是它的极限, 记为 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=x$.
为了了解极限的概念, 我们从一些重要的例子入手:
- 这是一个反面的例子. 极限是否存在将是我们的核心课题, 下面的例子可以表明这个问题的重要性与困难之处:我们考虑实数数列 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$, 其中 $$x_n=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\cdots + \dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}, $$
- 我们想知道这个序列是不是有极限.
然而, 根据极限的定义, 如果有极限, 我们要先验地知道极限是什么才可以利用定义来证明. 事实上, 要想猜到这个极限的值是很困难的. 通过这个例子, 我们发现极限的定义对于判断极限是否存并没有太大的帮助. - 从概念上而言, 极限的定义在哲学意义上有一个先天的缺陷:判断数列收敛与否, 应该由数列本身所决定而不需要依赖于外在的信息, 比如说事先知道极限是什么. 换句话说, 我们想要内蕴地来考虑极限问题. 这种看法和思考方式对数学的学习是大有裨益的.
- 假设我们已经得知上述数列的极限是 $\dfrac{\pi}{4}$(注意, 目前我们还没有定义圆周率 $\pi$). 然而, 要尝试从定义出发来证明极限就是 $\dfrac{\pi}{4}$, 我们目前还是无能为力, 因为我们缺乏基本的工具. 我们将学习微分和积分等基本的分析工具, 有了这些技术手段的支持, 我们才可以真正地计算类似的极限.
- 让我们暂且接受 $\pi$ 是无理数这个事实. 我们注意到, 这个数列的每一项都是有理数, 但是它在有理数 $\mathbb{Q}$ 中是没有极限的. 我们知道, $(\mathbb{Q}, d(x, y)=|x-y|)$ 也是一个距离空间(参见第一次作业题的 ${\rm A3)}$)可见, 一个点的序列能否收敛与这个点列所生活的空间的性质密切相关.
- 题外话:我们可以把上述极限写为 \[\lim{n\rightarrow \infty}\left( 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\cdots + \dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1} \right) =\frac{\pi}{4}.\] 等式左边每一项都是用算术来定义的, 即通过整数进行加减乘除而来. 然而, 通过取极限的过程, 右边得到了和圆周率有关的信息. 简而言之, 一个算术的对象和一个几何的对象通过极限联系在一起:可以不夸张地说, 极限是从算术世界通往几何世界的秘密通道.
- 我们想知道这个序列是不是有极限.
- 如果 $x_n =x$, 那么 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n=x$.
我们按照定义来证明:对任意的 $\varepsilon>0$, 我们取 $N=1$, 当 $n\geqslant 1$ 时, 有 $|x_n-x|=0<\varepsilon$. - 我们有极限 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{1}{n}=0$.
我们按照定义来证明:对任意的 $\varepsilon>0$, 可以选取 $N$, 使得 $N>\dfrac{1}{\varepsilon}$, 比如说, $N=\left\lfloor{\dfrac{1}{\varepsilon}}\right\rfloor+1$. 当 $n\geqslant N$ 时, 有 $|x_n-0|=\dfrac{1}{n}\leqslant\dfrac{1}{N}<\varepsilon$. - 我们有极限 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{1}{\lambda^n}=0$, 其中 $\lambda>1$.
先陈述一个技术事实:假设 $\lambda=1+\delta$, 其中, $\delta>0$. 根据二项式的展开(只需要乘法和加法以及各类实数的四则运算就可以证明), 我们有 \[\lambda^n=(1+\delta)^n = 1+n\delta+\cdots \geqslant 1+n\delta.\] 所以, 对任意的一个数 $M$, 总能选到 $n$, 使得 $\lambda^n\geqslant 1+n\delta>M$(Archimedes原理).
我们现在按照定义来证明:对任意的 $\varepsilon>0$, 可以选取 $N$, 使得 $\lambda^N>\dfrac{1}{\varepsilon}$, 比如说, $N=\left\lfloor{\dfrac{1}{\varepsilon\delta}}\right\rfloor+1$. 当 $n\geqslant N$ 时, 有 $|x_n-0|=\dfrac{1}{\lambda^n}\leqslant\dfrac{1}{\lambda^N}<\varepsilon$.
有了极限, 我们可以定义无限个数求和这一个概念, 这也就是级数的概念. 不夸张地说, 这是极限最重要的一个应用, 因为几乎所有有意义的数和函数都是通过级数的方式来构造的. 另外, 我们还可以仿照极限的定义方式, 研究极限是 $+\infty$ 或者 $-\infty$ 的数列. 为此, 我们对极限的定义进行扩充
我们假定 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 是实数的序列.
- 如果对任意的 $M>0$(很大), 总存在 $N>0$, 使得对任意的 $n\geqslant N$, 都有 $x_n>M$, 我们就称 $x_n$收敛到正无穷, 记作 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n=+\infty$. 类似地, 如果对任意的 $M>0$, 总存在 $N>0$, 使得对任意的 $n\geqslant N$, 都有 $x_n<-M$, 我们就称 $x_n$收敛到负无穷, 记作 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n=-\infty$. 如果上述之一发生, 我们就称 $x_n$ 是发散的.
- $a_1, a_2, \cdots$ 是一列实数, 令 $x_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$, 如果 ${x_n}_{n\geqslant 1}$ 有极限, 我们就说级数 $a_1+a_2+a_3+\cdots$收敛并把它的极限 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n$ 记作 $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty a_i$;如果 ${x_n}_{n\geqslant 1}$ 是发散的, 我们就称级数 $a_1+a_2+a_3+\cdots$发散. 根据之前的定义, 我们可以想当然地定义 $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty a_i=+\infty$ 或者 $\displaystyle\sum_{i=1}^\infty a_i=-\infty$ 并称这个级数是收敛到正无穷或者负无穷的.
为了理解这几个定义, 我们再给出几个简单的例子:
- 一个数列既没有极限也不发散, 比如说 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$，其中 $x_n=(-1)^{n-1}$. 这个数列是没有极限的: 如若不然, 假设它的极限是 $x$. 根据定义, 对于 $\varepsilon=0.1$(因为对与任意的 $\varepsilon$ 都成立, 特别地, 我们就取这个数), 存在 $N_0$, 使得当 $n\geqslant N_0$ 时, $|x_n-x|<0.1$. 所以, 根据三角不等式,
\[2=|x_{N_0}-x_{N_0+1}|\leqslant |x_{N_0}-x|+|x-x_{N_0+1}|<0.1+0.1=0.2,\]
矛盾. - 在度量空间中, 我们有收敛的概念, 但是我们一般而言并没有级数的概念, 原因是对于点列 $\{a_k\}_{k\geqslant 1}$, 求和 $a_1+a_2+\cdots+a_n$ 是不能被定义的(因为我们没有加法运算 $X\times X\rightarrow X$).
根据这个讨论, 如果 $X$ 还是一个线性空间, 那么, 我们可以定义级数 $a_1+a_2+\cdots+a_n$. 比如说, $X=\mathbb{C}$ 是复数, 我们就可以定义复数的级数. - 调和级数 $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}+\cdots$ 是最经典的发散级数的例子.
调和级数发散的证明(分析中最经典的证明之一): 考虑 $n=2^k$, 那么, 我们有\begin{aligned} \sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{j}&=\underbrace{\frac{1}{1}}_{1\text{个},~\geqslant \frac{1}{2}}+\underbrace{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)}_{2\text{个},~\geqslant \frac{1}{4}}+\underbrace{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)}_{4\text{个},~\geqslant \frac{1}{8}}+\cdots+\underbrace{\left(\frac{1}{2^{k-1}}+\frac{1}{2^{k-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{k}-1}\right)}_{2^{k-1}\text{个},~\geqslant \frac{1}{2^k}}\\ &> 1\times \frac{1}{2}+ 2\times \frac{1}{4}+4\times \frac{1}{8}+\cdots+2^{k-1}\times \frac{1}{2^k}=\frac{k}{2}.\end{aligned}所以, 对任意的 $M$, 我们总可以选取很大的 $n$, 使得 $a_n\geqslant M$, 这说明调和级数是发散的. 我们发现证明从技术上仍然和庄子的二分法相似, 究其根本, 是因为二分之后求和变得容易计算. 可计算性将在很多数学问题中都是头等重要的事情, 我们后面会数次遇到类似地事情.
我们收集与极限定义相关的一些简单性质, 我们对距离空间 $(X, d)$ 中的点列来陈述这些性质, 它们自然的对实数的序列也成立:
给定距离空间 $(X, d)$, $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 是 $X$ 中点的序列, 我们有
- 如果 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 收敛, 那么它的极限唯一,即若 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n=x$并且 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n=y$,那么 $x=y$.
- 任意改变序列中有限项之后, 不会改变序列的极限,即若 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n=x$, $\{y_n\}_{n\geqslant 1}$ 是另外一个点列, 其中当 $n\geqslant N_0$ 时, $y_n=x_n$, 那么 $\{y_n\}_{n\geqslant 1}$ 也收敛并且 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} y_n=x$.
- 假设 $1\leqslant n_1 < n_2<\cdots <n_k<\cdots$ 是一列上升的指标, 对 $k\geqslant 1$, $y_k=x_{n_k}$, 那么点列 $\{y_k\}_{k\geqslant 1}$ 称作是 $\{x_n\}$ 的子列, 子列也经常写成 $\{x_{n_k}\}_{k\geqslant 1}$. 一个收敛点列的子列也收敛到同一个极限, 即若序列 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 是收敛的, 那么子列 $\{x_{n_k}\}_{k\geqslant 1}$ 也收敛并且 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n=\lim_{k\rightarrow \infty} x_{n_k}$.
- 如果实数数列 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 是收敛的, 那么它有界的. (在距离空间中我们也可以定义有界性，但是这里我们只对实数陈述这个事实)
- (否定命题的叙述, 重要) 假设 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 的极限不是 $x$ (可以不收敛), 这个命题用数学的语言说就是: 存在 $\varepsilon>0$, 对任意的 $N\geqslant 1$, 总存在 $n\geqslant N$, 使得 $d(x_n,x)\geqslant \varepsilon$.
我们逐条的进行论证. 这些证明是简单的, 但是对于第一次接触极限的同学, 应该坚持把证明写完整以熟悉这种语言.
- 任意给定 $\varepsilon>0$, 根据极限的定义, 存在 $N_1\geqslant 1$, 使得对任意的 $n\geqslant N_1$, 我们都有 $d(x_n, x)<\varepsilon$, 也存在 $N_2 \geqslant 1$, 使得对任意的 $n\geqslant N_2$, 我们都有 $d(x_n, y)<\varepsilon$. 那么, 对于 $n_0=\max(N_1, N_2)$, 我们有 $d(x_{n_0}, x)<\varepsilon$ 和 $d(x_{n_0}, y)<\varepsilon$ 同时成立. 从而, 根据三角不等式, 我们有 \[d(x,y)<d(x_{n_0},x)+d(x_{n_0},y)<2\varepsilon.\] 由于 $\varepsilon$ 是任意选取的, 所以 $d(x,y)=0$, 所以 $x=y$.
- 对任意给定的 $\varepsilon>0$，我们想要找一个 $N\geqslant 1$, 使得对任意的 $n\geqslant N$, 我们都有 $d(y_n, x)<\varepsilon$. 根据极限的定义, 对于这个 $\varepsilon$, 存在 $N_1\geqslant 1$, 使得对任意的 $n\geqslant N_1$, 我们都有 $d(x_n, x)<\varepsilon$. 我们只需要令 $N=\max(N_0, N_1)$, 此时, 当 $n\geqslant N$ 时, 我们有 \[d(y_n, x)=d(x_n, x)<\varepsilon.\]
- 我们将 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 的极限记做 $x$, 为了证明 $\displaystyle\lim_{k\rightarrow \infty} x_{n_k}=x$, 我们任选 $\varepsilon>0$. 根据 ${x_n}_{n\geqslant 1}$ 的极限的定义, 存在 $N\geqslant 1$, 使得对任意的 $n\geqslant N$, $d(x_{n}, x)<\varepsilon$. 那么, 对任意的 $k\geqslant N$, 根据 $n_k\geqslant k\geqslant N$, 我们知道 $d(x_{n_k}, x)<\varepsilon$, 从而 $\displaystyle\lim_{k\rightarrow \infty} x_{n_k}=x$.
- 假设 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n=x$, 根据定义, 对 $\varepsilon=1$, 存在 $N$, 使得当 $n\geqslant N$ 时, 我们有 $|x_n-x|\leqslant 1$. 特别地, 对一切满足 $n\geqslant N$ 的指标 $n$, $x_n$ 都落在区间 $[x-1, x+1]$ 中, 这是有界的. 对于 $n=1, 2, \cdots, N-1$, 这是有限多个数, 它们自然有界, 所以数列本身有界. 即取 $$M=\max\{|x_1|, |x_2|, \cdots , |x_{N-1}|, |x+1|,|x-1|\},$$ 则对任意的 $n\geqslant 1$, 都有 $|x_n|\leqslant M$.
- 最后一个命题是基本的(但是别扭)逻辑. ∎
对于第四条, 我们注意到如果一个数列是有界的,那么它不一定是收敛的, 比如说 $x_n=(-1)^n$ 所给出的数列.但是, (后面会证明)如果一个数列是有界的, 那么它一定包含着收敛的子列.
极限是我们在高等数学学习中所最先接触的几个数学对象之一.在数学中, 对于每一个数学对象(例如极限),我们会例行公事般地考虑它的一些常见的性质.
比如说, 这个对象最基本的例子是什么,这种对象是否存在, 如果存在的话它是否具有唯一性, 它的子对象和商对象(如果有的话)都具有什么性质(比如说遗传了原来的对象的什么性质),这个对象的可计算性以及在特定映射下的行为等等. 作为例子, 我们刚刚见到一个点列的子对象(即子列)遗传了点列的收敛性(和有界性).尽管这是一种八股文一般的讨论方式 ($Bourbaki$ 学派是这种方式最忠实的实践者),但是是非常有效率的一种学习和记忆方式, 我们在课程上会尽量的按照这种习惯来学习. 特别要强调的是, 每一个定义大家都应该搞清楚最基本的例子是什么.
在实数 $\mathbb{R}$ 上, 我们有四则运算和序关系, 我们自然要研究它们与极限的关系.
假设 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 和 $\{y_n\}_{n\geqslant 1}$ 是两个收敛的实数数列, 那么我们有
- 数列 $\{x_n+y_n\}_{n\geqslant 1}$ 收敛并且 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(x_n+y_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}x_n+\lim_{n\rightarrow \infty}y_n$.
- 数列 $\{x_n-y_n\}_{n\geqslant 1}$ 收敛并且 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(x_n-y_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}x_n-\lim_{n\rightarrow \infty}y_n$.
- $\{x_n\cdot y_n\}{n\geqslant 1}$ 收敛并且 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(x_n\cdot y_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}x_n \cdot \lim_{n\rightarrow \infty}y_n$. 特别地, 对任意实数 $\lambda\in \mathbb{R}$, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\lambda \cdot x_n=\lambda \cdot \lim_{n\rightarrow \infty}x_n$.
- 如果 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}y_n\neq 0$, 则存在 $N$, 使得当 $n \geqslant N$ 时, $y_n\neq 0$, 那么数列 $\left\{\dfrac{x_n}{y_n}\right\}_{n\geqslant N}$ 收敛并且 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{x_n}{y_n}=\dfrac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}x_n}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}y_n}$.
- 如果对足够大的 $n$(即存在 $N$, 使得 $n\geqslant N$ 时), 有 $x_n\leqslant y_n$, 那么 $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}x_n\leqslant \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}y_n.$$
这几个命题的证明不困难, 但是对初学者而言, 细节的训练是重要的. 我们假设 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=x$, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}y_n=y$.
- 任意给定 $\varepsilon>0$, 我们要证明存在 $N$, 使得对所有的 $n\geqslant N$, 我们都有 $|(x_n+y_n)-(x+y)|<\varepsilon$. 对于正数 $\dfrac{\varepsilon}{2}$ 而言, 因为 $x_n\rightarrow x$, 所以存在 $N_1$, 使得对所有的 $n\geqslant N_1$, 我们都有 $|x_n-x|<\dfrac{1}{2}\varepsilon$;因为 $y_n\rightarrow y$, 所以存在 $N_2$, 使得对所有的 $n\geqslant N_2$, 我们都有 $|y_n-y|<\dfrac{1}{2}\varepsilon$. 此时, 我们可以选取 $N=\max(N_1, N_2)$, 所以当 $n\geqslant N$ 时, 我们有 $$|(x_n+y_n)-(x+y)|\leqslant |x_n-x|+|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. $$
- 把上面证明中的适当位置的加号换成减号即可.
- 由于两个数列都收敛, 所以它们都是有界的, 所以存在一个常数 $C$, 使得对任意的 $n\geqslant 1$, 我们都有 $|x_n|\leqslant C$, $|y_n|\leqslant C$. 为了证明极限存在, 我们先做计算 \begin{aligned} |x_ny_n-xy|&=|x_n(y_n-y)+(x_n-x)y|\leqslant |x_n||y_n-y|+|x_n-x||y| \\ \\ &\leqslant C\bigl(|y_n-y|+|x_n-x|\bigr). \end{aligned} 任意给定 $\varepsilon$, 我们可以选取 $N$, 使得当 $n\geqslant N$ 时, $|x_n-x|<\varepsilon$ 和 $|y_n-y|<\varepsilon$ 同时成立, 此时, 对于 $n\geqslant N$, 我们就有 \[|x_ny_n-xy|\leqslant C(\varepsilon +\varepsilon)=2C\varepsilon.\] 由于 $\varepsilon$ 可以任意选取, 命题就得到了证明(实际上, 为了把证明写的和定义完全一致, 我们应该回头把原来的 $\varepsilon$ 替换成 $\dfrac{\varepsilon}{2C}$).
- 这一条性质的证明我们留成作业.
- 我们可以利用反证法: 如若不然, 我们有 $x>y$, 选取 $\varepsilon=\dfrac{|x-y|}{2}$, 根据极限的定义, 我们可以选取 $N$, 使得当 $n\geqslant N$ 时, $|x_n-x|<\varepsilon$ 和 $|y_n-y|<\varepsilon$ 同时成立, 从而对于任意一个这样的 $n$, 我们都有 \[x_n =(x_n-x)+x>x-\varepsilon=\frac{x+y}{2},\] \[y_n =(y_n-y)+y<y+\varepsilon=\frac{x+y}{2},\] 矛盾!
我们对命题本身稍加解释:
- 在命题的第五条中出现的“对足够大的 $n$”的讲法, 指的是“存在 $N$, 使得 $n\geqslant N$ 时”, 我们将经常使用这种分析中的“黑话”.
- 命题的第一条的等号左边说我们先逐项求和然后取极限, 右边我们可以先求极限再求和, 所以交换了求和和取极限这两种操作之后, 我们得到了同样的结果. 其他几个命题都是将极限符号和四则运算可以交换. 在数学和物理的很多分支中, 两种操作的顺序是否可交换的是很重要的, 比如说在线性代数里两个矩阵的乘积何时可交换是很核心的话题, 时空的弯曲与此有关, 量子力学中的Heisenberg测不准原理也是.
- 命题的第五条说的是 $\lim$ 与 $\leqslant$ 可以交换. 如果我们要求对足够大的 $n$, 有 $x_n<y_n$, 那么取极限之后 $x< y$ 未必成立(试举一个反例, 举反例是很重要的练习, 尤其是接触新概念时, 这不失为理解抽象概念的最好方式之一: 若 $x_n=0$, $y_n=\dfrac{1}{n}$, 那么有 $x_n<y_n$ 但它们的极限相等), 即严格大小关系和极限不交换. 另外, 将 $\leqslant$ 换成 $\geqslant$ 结论也成立, 课程后面这种平行的命题我们一般只选择证明其中的一条.
- 在命题的第三条的证明中, 我们不需要区别 $\varepsilon$ 和 $2C\varepsilon$ 或者 $10000\varepsilon$, 这是因为 $\varepsilon$ 可以任意选取. 这是数学分析的行规: $\varepsilon\approx10000\varepsilon$.
- 这个性质最重要的应用是用于计算! 通过交换极限和四则运算, 很多复杂极限问题可以化成简单的四则运算问题(四则运算我们更熟悉)比说, 我们要计算 $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{n^2+3n+2}{n^2+1},$$ 我们可以按照下面的步骤来做:
\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{n^2+3n+2}{n^2+1}&=\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}{1+\dfrac{1}{n^2}}\\ \\ &= \dfrac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}\\ \\ &=\dfrac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} 1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3}{n}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2}{n^2}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} 1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}}=\frac{1+0+0}{1+0}=1. \end{aligned}
我们现在回到最本质的一个问题: 极限的存在性. 我们有一种内蕴的方式来判断极限的存在性:
假设 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 是实数的数列, 那么如下命题等价:
- $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 收敛;
- 对任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $N>0$, 使得对任意的 $m, n>N$, 都有 $|x_n-x_m|<\varepsilon$.
满足第二条性质的数列被称作是 Cauchy 列.
为了证明这个重要的定理, 我们先做一些准备工作. 如果实数数列 $\{x_n\}_{n \geqslant 1}$ 满足 $x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\leqslant\cdots$, 就称之为单调上升的或者递增的; 如果它满足 $x_1< x_2<x_3<\cdots$, 就称之为严格单调上升的或者严格递增的. 类似地可定义(严格)单调下降的或者(严格)递减的的序列.
如果单调上升的实数序列 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 是有界的, 那么 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 收敛并且 $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\sup_{n\geqslant 1}x_n.$$ (单调下降的序列也满足类似的结论)
根据确界原理, 我们令 $s=\sup_{n\geqslant 1}x_n$. 我们将证明对任意给定的 $\varepsilon$, 存在 $N$, 使得当 $n\geqslant N$ 时, $|x_n-s|<\varepsilon$.
在第二课确界原理证明之后的评注中, 我们知道可以如下地刻画上确界: 对 $\varepsilon>0$, 存在 $x_{n_0}$, 使得 $s-\varepsilon<x_{n_0}$, 取 $N=n_0$, 则对任意的 $n>N=n_0$ 都有 $x_n\geqslant x_{n_0}>s-\varepsilon$. 另外, 根据上确界的定义, 我们还有 $x_n\leqslant s<s+\varepsilon$. 所以, 对任意的 $n\geqslant N$, 都有 $|x_n-s|< \varepsilon$. 证毕.
作为应用, 我们证明级数 $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ 是收敛的:
级数 $\displaystyle \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots$ 是收敛的. 我们定义部分和 $\displaystyle x_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$, 所谓的级数收敛指的就是 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 这个数列有极限. 这是一个单调上升的数列, 根据上面的定理, 我们只需要说明 $\{x_n\}_{n\geqslant 1}$ 有界即可: \begin{aligned} 0<x_n&=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}\\ \\ &\leqslant 1+\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\times n}+\frac{1}{n\times (n+1)}\\ \\ &= 1+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ \\ &=2-\frac{1}{n+1}<2. \end{aligned}
