$f_*$ 是左正合的，$\mathfrak{Ab}$ 有足够多的内射对象。
设 $0\to \scrF \to \scrG \to \scrH \to 0$ 是一个正合列，那么因为 $\Gamma(U,-)$ 是左正合的，因此有 $$0\to \Gamma(f^{-1}(V) , \scrF) \to \Gamma(f^{-1}(V) ,\scrG) \to \Gamma(f^{-1}(V),\scrH) $$. 那么又因为层的单射和截面有关，故而有 $$0\to f_*\scrF \to f_*\scrG \to f_*\scrH,$$ 所以 $f_*$ 左正合。
∎设 $f:X \to Y$ 是拓扑空间的连续映射。那么我们定义 higher direct image functors $R^i f_*: \mathfrak{Ab}(X) \to \mathfrak{Ab}(Y)$ 为 $f_*$ 的右导出函子。
对于任意 $i\\ge 0$ 和任意 $\scrF \in \mathfrak{Ab}(X)$, $R^if_*(\scrF)$ 是以下预层 $$V \mapsto H^i(f^{-1}(V),\scrF|_{f^{-1}(V)})$$ 在 $Y$ 上的相关层。
如果 $V\subseteq Y$ 是任意开子集, 设 $f’ : f^{-1}(V) \to V$ 是限制映射，那么 $$R^if_*(\scrF)|_V = R^if‘_*(\scrF|_{f^{-1}(V)})$$.
显然。
∎如果 $\scrF$ 是 $X$ 上的 flasque 层，那么 $R^i f_*(\scrF) = 0$ 对于所有 $i>0$.
因为 flasque 层 $\scrF$ 限制在开集上仍然是 flasque 层，因为 flasque 层的上同调为 $0$, 所以这也是为 $0$.
∎设 $f:X \to Y$ 是环空间的态射。那么函子 $R^if_*$ 可以在 $\mathfrak{Mod}(X)$ 中作为导出函子 $f_* : \mathfrak{Mod}(X) \to \mathfrak{Mod}(Y)$ 来计算。
设 $\scrF \in \mathfrak{Mod}(X)$, 那么我们取 $\scrF$ 的内射解消。参考文档：层的上同调 – 任务优先。我们知道 $\mathfrak{Mod}(X)$ 的内射对象都是 flasque 的。根据推论 , 我们知道这些内射对象都是零调的，因此可以用来计算右导出函子 $R^if_*$。
∎设 $X$ 是一个诺特概形，$\scrF$ 是 $X$ 上的拟凝聚层。那么 $\scrF$ 可以嵌入到 $X$ 上的一个 flasque 的拟凝聚层中。
一个加性函子 $F:\frakA \to \frakB$ 是 effaceable 如果对于 $\frakA$ 中的任意对象 $A$，存在 $M\in \frakA$ 和一个单态射 $u:A \to M$, 使得 $F(u) = 0$.
设 $T= (T^i)_{i\ge 0}$ 是一个从 $\frakA$ 到 $\frakB$ 的逆变 $\delta$ 函子，如果对于 $i>0$ 都有 $T^i$ 是 effaceable 的，那么 $T$ 是 universal.
设 $X$ 是一个 Noether 概形，设 $f:X \to Y$ 是从概形 $X$ 到仿射概形 $Y = \Spec \ A$ 的态射。那么对于任意 $X$ 上的拟凝聚层 $\scrF$，都有 $$R^if_*(\scrF) \cong H^i(X,\scrF)^\sim.$$
因为 $f_*\scrF$ 是 $Y$ 上的拟凝聚层。因此 $f_*\scrF \cong \Gamma(Y,f_*\scrF)^\sim$. 又因为 $\Gamma(Y,f_*\scrF) = \Gamma(X,\scrF)$. 所以我们有了 $i=0$ 时的同构。
又因为 ${}^\sim$ 是 $\mathfrak{Mod}(A)$ 到 $\mathfrak{Y}$ 的正合函子。两侧都是 $X$ 上拟凝聚层范畴 $\mathfrak{Qco}(X)$ 到 $\mathfrak{Mod}(Y)$ 的 $\delta$ 函子。 根据引理 , 任意凝聚层 $\scrF$ 可以嵌入到一个 flasque，拟凝聚层中。取 $u: \scrF \to \scrJ$, 其中 $\scrJ$ 是一个 flasque 层。我们可以很快得到 $R^if_*(\scrF)(u) = H^i(X,\scrF)^\sim(u) = 0$. 因此当 $i>0$ 时两侧的层都是 effaceable 的。根据定理 , 我们知道这两个 $\delta$ 函子是同构的，因此 $$R^if_*(\scrF) \cong H^i(X,\scrF)^\sim.$$
∎注意到，这个结论当 $\scrF$ 不是拟凝聚的时候，$i=0$ 的时候都有可能是错的。
设 $f:X \to Y$ 是概形间的态射， $X$ 是诺特概形。那么对于 $X$ 上任意拟凝聚层 $\scrF$，层 $R^if_*(\scrF)$ 是 $Y$ 上的拟凝聚层。
设 $f:X \to Y$ 是诺特概形间的分离态射。设 $\scrF$ 是 $X$ 上的拟凝聚层。设 $\frakU = (U_i)$ 是 $X$ 的仿射开覆盖。设 $\scrC^\bullet(\frakU,\scrF)$ 是 $\scrF$ 的切赫解消。那么对于任意 $p\ge 0$, 我们有 $$R^pf_*(\scrF) \cong h^p(f_*\scrC^\bullet(\frakU,\scrF)).$$
设 $f:X \to Y$ 是诺特概形间的射影态射。设 $\calO_X(1)$ 是 $X$ 上的相对于 $Y$ 的非常丰沛可逆层。设 $\scrF$ 是 $X$ 上的凝聚层。那么
(a) 对于足够大的 $n\gg 0$, 自然映射 $f^*f_*(\scrF(n)) \to \scrF(n)$ 是满射。
(b) 对于 $i\ge 0$, $R^if_*(\scrF)$ 是 $Y$ 上的凝聚层。
(c) 对于 $i>0$ 和足够大的 $n\gg 0$, $R^if_*(\scrF(n)) = 0$.
对于 (b) 来说，当 $f$ 是诺特概形间的 proper 态射的时候也是成立的。