动机
动机：模空间主要是为了解决分类问题。
- $\mathbb{C}^n$ 的 $k$ 维子空间
- $\mathbb{P}^2$ 中次数为 $d$ 的曲线。
- 亏格为 $g$ 的曲线 $C$ 并且带有次数为 $d$ 的态射 $C \to \mathbb{P}^1$.
- 固定射影簇 $X$ 上的线丛。
- 一个群的表示
我们的兴趣在于以下两个例子：
- 亏格为 $g$ 的光滑射影曲线，$\mathcal{M}_g$.
- 固定光滑曲线 $C$ 的 semistable 向量丛，$\underline{Bun}_{r,d}^{ss}(C)$.
模空间是一个空间，它的点和给定的代数几何对象的同构类一一对应。
射影空间 $\mathbb{P}^1$ 可以看作 stable elliptic curves 同构类构成的集合。
关于稳定曲线，可以参考：稳定曲线 – 任务优先
离散模空间和连续模空间
$\mathbb{P}^n$ 的线丛构成的模空间就是 $\mathbb{Z}$. 因为 $\mathbb{P}^n$ 中线丛都是形如 $\mathcal{O}(n)$ 的形式。
$\mathbb{P}^2$ 中的二次曲线 $C = a_0 x^2 + a_1 xy + a_2 xz + a_3 y^2 + a_4yz + a_5 z^2 $ 构成的模空间是连通空间 $\mathbb{P}^5$.
为什么要学习模空间？
因为模空间的性质可以告知我们这些对象的性质。
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