丰沛层(ample sheaf)

(a) 因为 $\mathscr{L}$ 是非常丰沛的，存在一个闭嵌入 $i: X \hookrightarrow \mathbb{P}^N$，使得 $\mathscr{L} \cong i^* \mathcal{O}_{\mathbb{P}^N}(1)$。因为 $\mathscr{M}$ 是由整体截面有限生成的，存在一个态射 $f: X \rightarrow \mathbb{P}^M$，使得 $\mathscr{M} \cong f^* \mathcal{O}_{\mathbb{P}^M}(1)$。积映射 $(i, f): X \rightarrow \mathbb{P}^N \times \mathbb{P}^M$ 是闭嵌入。虑经典的 Segre 嵌入 $s: \mathbb{P}^N \times \mathbb{P}^M \hookrightarrow \mathbb{P}^{NM+N+M}$。 这是一个闭嵌入。复合映射 $\Psi = s \circ (i, f): X \hookrightarrow \mathbb{P}^{NM+N+M}$ 是两个闭嵌入的复合，因此它也是一个闭嵌入。
$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{NM+N+M}}(1)$ 拉回到 $\mathbb{P}^N \times \mathbb{P}^M$ 上是 $p_1^* \mathcal{O}(1) \otimes p_2^* \mathcal{O}(1)$。

再拉回到 $X$ 上：

$$\Psi^* \mathcal{O}(1) \cong (i, f)^* \left( p_1^* \mathcal{O}(1) \otimes p_2^* \mathcal{O}(1) \right) \cong i^* \mathcal{O}(1) \otimes f^* \mathcal{O}(1) \cong \mathscr{L} \otimes \mathscr{M}$$

(b) 因为 $\mathscr{L}$ 是丰沛的，根据 GTM52 II 定理7.6，存在某个正整数 $m > 0$，使得 $\mathscr{L}^m$ 是非常丰沛的。$\mathscr{L}$ 是丰沛的，根据丰沛的定义，存在一个整数 $N_1$，使得对于所有的 $k \ge N_1$，$\mathscr{L}^k$ 都是由整体截面生成的。
$n_0 = m + N_1$。

对于任意 $n > n_0$，我们可以把 $n$ 写成：

$$n = m + k$$

其中 $k = n – m > (m + N_1) – m = N_1$。
$$\mathscr{L}^n = \mathscr{L}^m \otimes \mathscr{L}^k$$ 那么由 (a) 即得。