设 $X$ 是一个维数为 $n$ 的 Noetherian 拓扑空间。那么对于任意 $i>n$ 和所有 $X$ 上的 Abel 群值层 $\scrF$，我们有 $H^i(X,\scrF) = 0$.
设 $Y$ 是 $X$ 的闭子集，设 $\scrF$ 是 $Y$ 上的 Abel 群值层，并且设 $j: Y \to X$ 是含入映射。那么 $$H^i(Y,\scrF) = H^i(X,j_*\scrF).$$
设 $X$ 是一个 Noetherian 概形。那么以下等价：
(i) $X$ 是仿射的
(ii) $H^i(X,\scrF) = 0$ 对于所有拟凝聚 $\scrF$ 和所有 $i>0$
(iii) $H^1(X,\scrI) =0$ 对于所有凝聚理想层 $\scrI$.
(i) $X$ 是仿射的
(ii) $H^i(X,\scrF) = 0$ 对于所有拟凝聚 $\scrF$ 和所有 $i>0$
(iii) $H^1(X,\scrI) =0$ 对于所有凝聚理想层 $\scrI$.
考虑 $\bbA^n=\text{Spec} \ k[x_1,\dots,x_n]$,$$H^i(\bbA^n,\calO_{\bbA^n}) =0, i>0.$$
设 $A$ 是 Noetherian 环，$X= \bbP_A^r$, 并且 $r\ge 1$. 那么：
(a) $S=A[x_0,\dots,x_r] \cong \bigoplus_{n\in \bbZ}H^0(X,\calO_X(n))$.
(b) $0\le i <r,n\in \bbZ$,$H^i(X,\calO(n)) = 0$.
(c) $H^r(X,\calO_X(-r-1)=\cong A$.
(d) $n\in \bbZ$, $H^0(X,\calO_X(n)) \times H^r(X,\calO_X(-n-r-1)) \to H^r(X,\calO_X(-r-1)) \cong A$. 是一个有限生成 $A$ 模的 perfect 配对。
(a) $S=A[x_0,\dots,x_r] \cong \bigoplus_{n\in \bbZ}H^0(X,\calO_X(n))$.
(b) $0\le i <r,n\in \bbZ$,$H^i(X,\calO(n)) = 0$.
(c) $H^r(X,\calO_X(-r-1)=\cong A$.
(d) $n\in \bbZ$, $H^0(X,\calO_X(n)) \times H^r(X,\calO_X(-n-r-1)) \to H^r(X,\calO_X(-r-1)) \cong A$. 是一个有限生成 $A$ 模的 perfect 配对。
考虑 $\bbP^n = \text{Proj} \ k[x_0,\dots,x_n]$, \begin{aligned} H^n(\bbP^n,\omega_X) & = H^{n}(\bbP^n,\calO(-n-1)) \\& = A \end{aligned}
设 $X$ 是 Noetherian 环 $A$ 上射影概形，并且设 $\calO_X(1)$ 是 $X$ 相对 $A$ 的非常丰沛层。设 $\scrF$ 是 $X$ 上的凝聚层。那么
(a) $i\ge 0$, $H^i(X,\scrF)$ 是有限生成 $A$ 模。
(b) $\exists n_0$ 依赖 $\scrF$, $\forall i>0, n\ge n_0$, 有 $H^i(X,\scrF(n)) = 0$.
(a) $i\ge 0$, $H^i(X,\scrF)$ 是有限生成 $A$ 模。
(b) $\exists n_0$ 依赖 $\scrF$, $\forall i>0, n\ge n_0$, 有 $H^i(X,\scrF(n)) = 0$.
设 $X$ 是 Noether 环 $A$ 上 proper 的概形。设 $\scrL$ 是 $X$ 上的一个可逆层。那么以下等价：
(a) $\scrL$ 是丰沛层。
(b) 对于任意可逆层 $\scrF$, $\exists n_0$ 依赖 $\scrF$, $\forall i>0, n>n_0$, 有 $H^i(X,\scrF \otimes \scrI^n) = 0$.
(a) $\scrL$ 是丰沛层。
(b) 对于任意可逆层 $\scrF$, $\exists n_0$ 依赖 $\scrF$, $\forall i>0, n>n_0$, 有 $H^i(X,\scrF \otimes \scrI^n) = 0$.
设 $X$ 是维数 $\ge 2$ 的正规射影概形。那么对于 $X$ 上的局部自由层 $\scrF$ 来说, 当 $q \gg 0$， $$H^1(X,\scrF(-q)) = 0.$$
如果 $X$ 是 $\bbC$ 上的维数为 $n$ 的射影光滑簇，并且 $\scrL$ 是 $X$ 上的丰沛可逆层。那么：
(a) $i>0$, $H^i(X,\scrL \otimes \omega) = 0$.
(b) $i<n$, $H^i(X,\scrL^{-1}) = 0$.
(a) $i>0$, $H^i(X,\scrL \otimes \omega) = 0$.
(b) $i<n$, $H^i(X,\scrL^{-1}) = 0$.