设 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 为两个范畴，则逆变函子$$\mathscr{F}: \mathcal{C}^{op} \to \mathcal{D}$$也被称为预层。
考虑一个特例。对于任意拓扑空间 $X$，我们定义范畴 $\mathfrak{Top}(X)$ 如下：
(1) 对象：$X$ 的开子集。
(2) 态射：$$\mathrm{Hom}(V,U)=\begin{cases} \varnothing &,V\not\subseteq U\\ \{i:V \hookrightarrow U\} &, V\subseteq U. \end{cases}$$记 $\mathfrak{CA}$ 为交换环的范畴。设 $\mathcal{C} = \mathfrak{Top}(X), \mathcal{D} = \mathfrak{CA}$，则预层$$\mathscr{F}: \mathfrak{Top}(X)^{op} \to \mathfrak{CA}$$称为 $X$ 上的交换环预层。（重要）
设 $X$ 是一个拓扑空间。$X$ 上的交换环预层 $\mathscr{F}$ 由以下数据构成：(a) 对于每一个开子集 $U\subseteq X$，$\mathscr{F}(U)$ 是一个交换环。(b) 对于 $X$ 的开子集的每一个包含关系 $V\subseteq U$，存在一个交换环的态射 $\rho_{UV}: \mathscr{F}(U) \to \mathscr{F}(V)$。须满足以下条件：(0) $\mathscr{F}(\varnothing) = 0$，其中 $0$ 表示零环。(1) $\rho_{UU}:\mathscr{F}(U) \to \mathscr{F}(U)$ 是恒等映射。(2) 如果 $W\subseteq V\subseteq U$ 是 $X$ 的三个开子集，则 $\rho_{UW}= \rho_{VW} \circ \rho_{UV}$。我们要称 $\mathscr{F}(U)$ 为预层 $\mathscr{F}$ 在开集 $U$ 上的截面。我们称映射 $\rho_{UV}$ 为限制映射，如果 $s\in \mathscr{F}(U)$，我们有时记 $s|_V$ 来代替 $\rho_{U,V}(s)$。
拓扑空间 $X$ 上的预层 $\mathscr{F}$ 如果满足以下补充条件，则称为层：(3) 如果 $U$ 是一个开集，$\{V_i\}$ 是 $U$ 的一个开覆盖，且 $s\in \mathscr{F}(U)$ 是一个满足对所有 $i$ 都有 $s|_{V_i} = 0$ 的元素，则 $s=0$。(4) 如果 $U$ 是一个开集，$\{V_i\}$ 是 $U$ 的一个开覆盖，且对于每个 $i$ 我们有元素 $s_i \in \mathscr{F}(V_i)$，具有如下性质：对于任意 $i,j$，$$s_i |_{V_i \cap V_j} = s_j|_{V_i \cap V_j},$$则存在一个元素 $s\in \mathscr{F}(U)$ 使得对每个 $i$ 都有 $s|_{V_i} = s_i$。
任意拓扑空间上的连续实值函数层。
(a) $\mathscr{F}(U)$ 是 $U$ 上的连续函数环。(b) $\mathscr{F}(U) \to \mathscr{F}(V), f \mapsto f|_V$。
设 $X$ 是一个拓扑空间，设 $P$ 为一点，且 $A$ 是一个交换环。定义一个层$$i_P(A)(U) = \begin{cases} 0&, P\not\in U\\ A&, P \in U \end{cases}$$
常数预层不是层。设 $X$ 是一个拓扑空间，$A$ 是一个交换环，我们定义由 $A$ 决定的 $X$ 上的常数预层 $\mathscr{A}$ 如下$$\mathscr{A}(U) = A.$$$\mathscr{A}$ 仅仅是一个预层。
考虑 $X = \mathbb{R},A = \mathbb{Z}$。\begin{align*}\mathscr{A}((-1,0) \cup (0,1)) &= \mathbb{Z}\\ \mathscr{A}((-1,0)) &= \mathbb{Z}\\ \mathscr{A}((0,1)) &= \mathbb{Z}\end{align*}取 $s_1 = -1 \in \mathscr{A}((-1,0)),s_2 = 1\in \mathscr{A}((0,1))$，我们无法得到一个 $s \in \mathscr{A}((-1,0) \cup (0,1))$，使得 $s|_{(-1,0)} = -1$ 且 $s|_{(0,1)} = 1$。
如果 $\mathscr{F}$ 是 $X$ 上的预层，且 $P$ 是 $X$ 的一点，我们定义 $\mathscr{F}$ 在 $P$ 处的茎 $\mathscr{F}_P$ 为群 $\mathscr{F}(U)$ 对于所有包含 $P$ 的开集 $U$ 通过限制映射 $\rho$ 的正向极限（direct limit）。$$\mathscr{F}_P = \varinjlim \mathscr{F}(U).$$
任意拓扑空间 $X$ 上的连续实值函数层 $\mathscr{F}$。设 $P\in X$，则 $\mathscr{F}_P$ 是在点 $P$ 处连续的函数环。
$\mathscr{F}_P$ 的元素由一个对 $\langle U,s\rangle$ 表示，其中 $U$ 是 $P$ 的开邻域，且 $s$ 是 $\mathscr{F}(U)$ 的元素。两个这样的对 $\langle U,s \rangle$ 和 $\langle V,t \rangle$ 定义 $\mathscr{F}_P$ 的同一个元素当且仅当存在 $P$ 的开邻域 $W$ 满足 $W\subseteq U \cap V$，使得 $s|_W = t|_W$。$\mathscr{F}_P$ 的元素称为芽。
设 $\varphi: \mathscr{F} \to \mathscr{G}$ 是拓扑空间 $X$ 上的层态射。则 $\varphi$ 是同构当且仅当对于每个 $P\in X$，诱导的茎上的映射 $\varphi_P:\mathscr{F}_P \to \mathscr{G}_P$ 是同构。
如果 $\varphi$ 是同构，显然每个 $\varphi_P$ 都是同构。因为对于 $X$ 中任意包含 $P$ 的开子集 $U$ 都有 $\mathscr{F}(U) \cong \mathscr{G}(U)$，故 $\mathscr{F}_P \cong \mathscr{G}_P$。反之，假设对所有 $P\in X$，$\varphi_P$ 都是同构。要证明 $\varphi$ 是同构，只需证明$$\varphi(U): \mathscr{F}(U) \to \mathscr{G}(U)$$对所有 $U$ 都是同构，因为这样我们可以对每个 $U$ 定义逆态射 $\Psi$ 为 $\Psi(U) = \varphi(U)^{-1}$。首先我们证明 $\varphi(U):\mathscr{F}(U) \to \mathscr{G}(U)$ 是单射。对于任意 $P\in U$。如果 $\varphi_U(s)=0, s \in \mathscr{F}(U)$，那么 $\varphi_U(s)_P = \varphi_P(s_P)=0$。因为 $\varphi_P$ 是同构，故 $s_P =0$。存在包含 $P$ 的开集 $V\subseteq U$，使得 $s|_V = 0$。利用定义层中的条件 (3)，可知 $s=0$。接下来，我们证明 $\varphi(U)$ 是满射。假设我们有一个截面 $t\in \mathscr{G}(U)$。对于任意 $P\in U$，我们有一个唯一的 $s_P\in \mathscr{F}_P$，使得 $\varphi_P(s_P) = t_P$。存在包含 $P$ 的 $V_P \subseteq U$，使得 $s_P = \langle s(P),V\rangle$。（$s(P) \in \varphi(V)$）。$\varphi_U(s(P))|_{V_P}$ 可能不等于 $t|_{V_P}$。我们可以调整 $V_P$ 足够小使得 $\varphi_U(s(P))|_{V_P}= t|_{V_P}$。对于任意两点 $P,Q$，$\varphi_U(s(P))|_{V_P\cap V_Q} = t_{V_P\cap V_Q} = \varphi_U(S_Q)|_{V_P\cap V_Q}$。由于 $\varphi$ 是单射，$s(P)|_{V_P \cap V_Q} = s(Q)|_{V_P\cap V_Q}$。利用层中的条件 (4)，我们得到一个 $s\in \mathscr{F}(U)$，使得 $s|_{V_P} = s(P)$。对 $\varphi_U(s)-t$ 利用定义层中的条件 (3)。我们得到 $\varphi_U(s)=t$。
设 $\varphi:\mathscr{F} \to \mathscr{G}$ 是拓扑空间 $X$ 上的层态射。则(1) $\varphi$ 是单射当且仅当诱导的茎上的映射 $\varphi_P:\mathscr{F}_P \to \mathscr{G}_P$ 是单射。(2) $\varphi$ 是满射当且仅当诱导的茎上的映射 $\varphi_P:\mathscr{F}_P \to \mathscr{G}_P$ 是满射。
设 $\varphi:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$ 是预层态射。我们定义 $\varphi$ 的层核为$$U \mapsto \mathrm{ker}(\varphi(U)),$$$\varphi$ 的预层余核为$$U \mapsto \mathrm{coker}(\varphi(U)),$$$\varphi$ 的预层像为$$U \mapsto \mathrm{im}(\varphi(U)).$$
设 $X = \mathbb{C}^* = \mathbb{C}\backslash \{0\}$。设 $\mathscr{F}$ 为全纯函数层。设 $\mathscr{G}$ 为非零全纯函数层。\begin{align*}\varphi:\mathscr{F}& \to \mathscr{G}\\ \varphi(U): \mathscr{F}(U) &\to \mathscr{G}(U)\\ f &\mapsto e^{2\pi i f}\end{align*}$\varphi$ 的预层余核和预层像都不是层。
给定一个预层 $\mathscr{F}$，存在一个层 $\mathscr{F}^+$ 和一个态射 $\theta: \mathscr{F} \to \mathscr{F}^+$，满足如下性质：对于任意层 $\mathscr{G}$ 和任意态射 $\varphi:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$，存在唯一的态射 $\Psi: \mathscr{F}^+ \to \mathscr{G}$ 使得 $\varphi = \Psi \circ \theta$。此外，对 $(\mathscr{F}^+,\theta)$ 在唯一同构意义下是唯一的。$\mathscr{F}^+$ 称为与预层 $\mathscr{F}$ 相伴的层（层化）。
对于任意开集 $U$，令 $\mathscr{F}^+(U)$ 为\begin{align*}\mathscr{F}^+(U): &=\{s:U \to \bigcup_{P\in U} \mathscr{F}_P \mid \\ & \text{(1): 对于每个}\ P\in U, s(P) \in \mathscr{F}_P\\ &\text{(2): 对于每个}\ P\in U, \text{存在}\ P\ \text{的一个邻域}\ V \text{包含于} \ U, \\ & \text{ 以及一个元素} \ t \in \mathscr{F}(V), \\ & \text{使得对于所有} \ Q\in V, \ t\ \text{在}\ Q\ \text{处的芽}\ t_Q \ \text{等于}\ s(Q).\}\end{align*}
如果 $\varphi:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$ 是层态射，我们定义 $\varphi$ 的核，记为 $\mathrm{ker} \ \varphi$。
如果 $\mathrm{ker}\ \varphi=0$，则称 $\varphi : \mathscr{F} \to \mathscr{G}$ 是单射。因此 $\varphi$ 是单射当且仅当诱导的映射$$\varphi(U):\mathscr{F}(U) \to \mathscr{G}(U)$$对 $X$ 的每个开集都是单射。
层态射 $\varphi:\mathscr{F} \to \mathscr{G}$ 是单射当且仅当截面上的映射\begin{align*}\varphi(U) : \mathscr{F}(U) \to \mathscr{G}(U)\end{align*}对每个 $U$ 都是单射。
对于任意开子集 $U\subseteq X$，证明从 $X$ 上的层到阿贝尔群的函子 $\Gamma(U,\cdot)$ 是左正合函子，即，如果\begin{align*}0 \to \mathscr{F}^\prime \to \mathscr{F} \to \mathscr{F}^{\prime\prime},\end{align*}那么\begin{align*}0 \to \Gamma(U,\mathscr{F}^\prime) \to \Gamma(U,\mathscr{F}) \to \Gamma(U,\mathscr{F}^{\prime\prime}).\end{align*}
如果 $\varphi:\mathscr{F} \to \mathscr{G}$ 是层态射，我们定义 $\varphi$ 的像，记为 $\mathrm{im}\ \varphi$，为 $\varphi$ 的预层像的相伴层（层化）。
如果 $\mathrm{im} \ \varphi =\mathscr{G}$，我们称层态射 $\varphi:\mathscr{F} \to \mathscr{G}$ 是满射。
如果 $\varphi: \mathscr{F} \to \mathscr{G}$ 是满射，截面上的映射$$\varphi(U):\mathscr{F}(U) \to \mathscr{G}(U)$$不必是满射。参考全纯函数。
设 $\mathscr{F}^\prime$ 是层 $\mathscr{F}$ 的子层。我们定义商层 $\mathscr{F}/\mathscr{F}^\prime$ 为预层\begin{align*}U \mapsto \mathscr{F}(U)/\mathscr{F}^\prime(U).\end{align*}的相伴层。由此可知，对于任意点 $P$，茎 $(\mathscr{F}/\mathscr{F}^\prime)_P$ 是商 $\mathscr{F}_P/\mathscr{F}_P^\prime$。
设 $f:X \to Y$ 是拓扑空间的连续映射。对于任意 $X$ 上的层 $\scrF$ ，我们定义 $Y$ 上 direct image 层（正像层）$f_*\scrF$ 为, 对于任意开集 $V\subset Y$, $f_*\scrF(V) = \scr{F}(f^{-1}(V))$.
设 $f:X \to Y$ 是拓扑空间的连续映射。对于任意 $Y$ 上的层 $\scrG$, 我们定义 $X$ 上的 inverse image 层 $f^{-1}\scrG$ 为，对于任意开集 $U$, $$f^{-1}\scrG(U) = \varinjlim_{V \supseteq f(U)} \scrG(V).$$
设 $Z$ 是 $X$ 的子拓扑空间。$i: Z \to X$ 是含入映射， $\scrF$ 是 $X$ 上的层，那我们称 $i^{-1} \scrF$ 为 $\scrF$ 在 $Z$ 上的限制，记为 $\scrF|_Z$.
注意到， 对于任意 $z\in Z$, $(\scrF|_Z)_z \cong \scrF_z$.
设 $f:X \to Y$ 是拓扑空间的连续映射。证明对于 $X$ 上的任意层 $\mathscr{F}$，存在自然映射\begin{align*}f^{-1} f_* \mathscr{F} \to \mathscr{F},\end{align*}且对于 $Y$ 上的任意层 $\mathscr{G}$，存在自然映射\begin{align*}\mathscr{G}\to f_*f^{-1}\mathscr{G}.\end{align*}利用这些映射证明，对于 $X$ 上的任意层 $\mathscr{F}$ 和 $Y$ 上的层 $\mathscr{G}$，存在集合的自然双射\begin{aligned} \mathrm{Hom}_X(f^{-1} \mathscr{G}, \mathscr{F}) = \mathrm{Hom}_Y(\mathscr{G}, f_*\mathscr{F}). \end{aligned}
设 $f:X \to Y$ 是概形间的态射。设 $\scrG$ 为 $\calO_Y$ 模层，那么我们定义拉回 $$f^* \scrG = f^{-1} \scrG \otimes_{f^{-1} \calO_Y} \calO_X.$$