平坦态射 #
设 $f:X \to Y$ 是概型间的态射，且 $\mathscr{F}$ 是一个 $\mathcal{O}_X$-模。如果在点 $x\in X$ 处，茎 $\mathscr{F}_x$ 是一个平坦 $\mathcal{O}_{y,Y}$-模（其中 $y = f(x)$，且我们将 $\mathscr{F}_x$ 视为通过自然映射 $f^\#: \mathcal{O}_{y,Y} \to \mathcal{O}_{x,X}$ 诱导的 $\mathcal{O}_{y,Y}$-模），我们称 $\mathscr{F}$ 在 $X$ 的点 $x$ 处相对于 $Y$ 是平坦的。如果 $\mathscr{F}$ 在 $X$ 的每一点处都是平坦的，我们简称 $\mathscr{F}$ 在 $Y$ 上平坦。如果 $\mathcal{O}_X$ 在 $Y$ 上平坦，则称 $X$ 在 $Y$ 上平坦。
(a) 开浸入是平坦的。
(b) 基变换：设 $f:X \to Y$ 是一个态射，$\mathscr{F}$ 是一个在 $Y$ 上平坦的 $\mathcal{O}_X$-模，且 $g: Y^\prime \to Y$ 是任意态射。设 $X^\prime = X \times_Y Y^\prime$，令 $f^\prime : X^\prime \to Y^\prime$ 为第二投影，且令 $\mathscr{F}^\prime = p_1^*(\mathscr{F})$。那么 $\mathscr{F}^\prime$ 在 $Y^\prime$ 上是平坦的。
(c) 传递性：设 $f:X\to Y$ 和 $g:Y \to Z$ 是态射。设 $\mathscr{F}$ 是一个在 $Y$ 上平坦的 $\mathcal{O}_X$-模，并且假设 $Y$ 在 $Z$ 上平坦。那么 $\mathscr{F}$ 在 $Z$ 上是平坦的。
$$X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z$$
(d) 设 $A \to B$ 是环同态，且 $M$ 是一个 $B$-模。设 $f:X = \operatorname{Spec} B \to Y =\operatorname{Spec} A$ 是对应的仿射概型态射，且 $\mathscr{F} = \widetilde{M}$。那么 $\mathscr{F}$ 在 $Y$ 上平坦当且仅当 $M$ 在 $A$ 上是平坦的。
(e) 设 $X$ 是诺特概型，$\mathscr{F}$ 是凝聚 $\mathcal{O}_X$-模。那么 $\mathscr{F}$ 在 $X$ 上平坦当且仅当它是局部自由的。
(b) 基变换：设 $f:X \to Y$ 是一个态射，$\mathscr{F}$ 是一个在 $Y$ 上平坦的 $\mathcal{O}_X$-模，且 $g: Y^\prime \to Y$ 是任意态射。设 $X^\prime = X \times_Y Y^\prime$，令 $f^\prime : X^\prime \to Y^\prime$ 为第二投影，且令 $\mathscr{F}^\prime = p_1^*(\mathscr{F})$。那么 $\mathscr{F}^\prime$ 在 $Y^\prime$ 上是平坦的。
(c) 传递性：设 $f:X\to Y$ 和 $g:Y \to Z$ 是态射。设 $\mathscr{F}$ 是一个在 $Y$ 上平坦的 $\mathcal{O}_X$-模，并且假设 $Y$ 在 $Z$ 上平坦。那么 $\mathscr{F}$ 在 $Z$ 上是平坦的。
$$X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z$$
(d) 设 $A \to B$ 是环同态，且 $M$ 是一个 $B$-模。设 $f:X = \operatorname{Spec} B \to Y =\operatorname{Spec} A$ 是对应的仿射概型态射，且 $\mathscr{F} = \widetilde{M}$。那么 $\mathscr{F}$ 在 $Y$ 上平坦当且仅当 $M$ 在 $A$ 上是平坦的。
(e) 设 $X$ 是诺特概型，$\mathscr{F}$ 是凝聚 $\mathcal{O}_X$-模。那么 $\mathscr{F}$ 在 $X$ 上平坦当且仅当它是局部自由的。
设 $f:X \to Y$ 是诺特概型间有限型的分离态射，且 $\mathscr{F}$ 是 $X$ 上的拟凝聚层。设 $u:Y^\prime \to Y$ 是诺特概型的平坦态射。那么对于所有的 $i\ge 0$，存在自然同构：$$u^* R^if_*(\mathscr{F}) \cong R^i g_*(v^* \mathscr{F}).$$
问题在 $Y$ 和 $Y^\prime$ 上是局部的，因此我们可以假设它们都是仿射的，譬如 $Y = \operatorname{Spec} A$ 和 $Y^\prime = \operatorname{Spec} A^\prime$。那么由……
即使 $u$ 不是平坦的，这个证明也表明存在一个自然映射 $u^*R^if_*(F) \to R^ig_* v^*(\mathscr{F})$。
设 $f:X \to Y$ 是诺特概形间有限型的分离态射，且 $\mathscr{F}$ 是 $X$ 上的拟凝聚层，并且假设 $Y$ 是仿射的。对于任意 $y\in Y$, 设 $X_y$ 是 $y$ 对应的纤维，设 $\scrF_y$ 是诱导的层。另一方面，设 $k(y)$ 代表常值层 $k(y)$ 定义在 $Y$ 上闭子集 $\overline{\{y\}}$. 那么对于所有 $i\ge 0$ 存在自然同构 $$H^i(X_y,\scrF_y) \cong H^i(X,\scrF \otimes k(y)).$$
平坦族 #
设 $f:X \to Y$ 是一个域 $k$ 上概形间的有限型的平坦态射。对于任意 $x\in X, y= f(x)$， 有 $$\dim_x(X_y) = \dim_x X – \dim_y Y.$$ 这里对于任意概形 $X$, $x\in X$, $\dim_x X$ 定义为 $\calO_{X,x}$ 的维数。
设 $f:X \to Y$ 是一个域 $k$ 上概形间的有限型的平坦态射。假设 $Y$ 是不可约的。那么一下等价：
(i) $X$ 的任意不可约分支的维数等于 $\dim Y +n$.
(ii) 对于任意 $y\in Y$, $X_y$ 的任意不可约维数为 $n$.
(i) $X$ 的任意不可约分支的维数等于 $\dim Y +n$.
(ii) 对于任意 $y\in Y$, $X_y$ 的任意不可约维数为 $n$.
设 $X$ 是一个概形，我们称 $x\in X$ 为 associated point, 如果极大理想 $\frakm_{X,x}$ 是 associated prime of $0$. 这里的 associated prime of $0$ 指的是 $\frakm_{X,x}$ 的元素都是零因子。
设 $f:X \to Y$ 是一个概形的态射， $Y$ 是整概形并且 regular of dimension $1$. 那么 $f$ 是平坦的当且仅当 $X$ 的 associated point 都被 $f$ 打到 $Y$ 的一般点。特别的，如果 $X$ 是既约的，那么 $X$ 的任意不可约分支都 dominates $Y$.
设 $Y$ 是维数为 $1$ 的 regular, 整概形。设 $P\in Y$ 是一个闭点， $X\subseteq \bbP_{Y-P}^n$ 是一个在 $Y-P$ 上平坦的闭子概形。那么存在唯一的在 $Y$ 上平坦的闭子概形 $\overline{X} \subseteq \bbP_Y^n$, 其中 $\overline{X}$ 限制在 $\bbP_{Y-P}^n$ 上就是 $X$.
设 $T$ 是整诺特概形。设 $X\subseteq \bbP_T^n$ 是一个闭子概形。对于任意 $t\in T$, 考虑闭子概形 $X_t\subseteq \bbP_{k(t)}^n$ 的 Hilbert 多项式 $P_t \in \bbQ[z]$。那么 $X$ 在 $T$ 上平坦当且仅当 Hilbert 多项式 $P_t$ 与 $t$ 无关。
设 $T$ 是连通诺特概形，设 $X\subseteq \bbP^n_T$ 是一个在 $T$ 上平坦的闭子概形。对于任意 $t\in T$, $X_t$ 看作是 $\bbP_{k(t)}^n$ 中的闭子概形。那么 $X_t$ 的维数，次数和算术亏格都和 $t$ 无关。
设 $\dim X =r$, 那么 $\dim X_t = \deg P_t$, $\deg X_t = r! \cdot P_t \ \text{的首项系数}$, $P_a(X_t) = (-1)^r(P_t(0)-1)$.
设 $k$ 是代数闭域。设 $f:X \to T$ 是域 $k$ 上的簇之间的满射。假设对任意闭点 $t\in T$, 我们有
(1) $f^{-1}(t)$ 是不可约的并且维数等于 $\dim X- \dim T$.
(2) 如果 $\frakm\subseteq \calO_{t,T}$ 是一个极大理想，并且如果 $\xi\in f^{-1}(t)$ 是一般点，那么 $f^\# \frakm_t$ 生成了 $\calO_{\xi,X}$ 的极大理想 $\frakm_\xi$.
设 $X_{(t)}$ 为簇 $f^{-1}(t)$（with reduced induced structure）并且我们称 $X_{(t)}$ 构成了 algebraic family of varieties parametrized by $T$.
(1) $f^{-1}(t)$ 是不可约的并且维数等于 $\dim X- \dim T$.
(2) 如果 $\frakm\subseteq \calO_{t,T}$ 是一个极大理想，并且如果 $\xi\in f^{-1}(t)$ 是一般点，那么 $f^\# \frakm_t$ 生成了 $\calO_{\xi,X}$ 的极大理想 $\frakm_\xi$.
设 $X_{(t)}$ 为簇 $f^{-1}(t)$（with reduced induced structure）并且我们称 $X_{(t)}$ 构成了 algebraic family of varieties parametrized by $T$.
设 $A$ 是一个局部诺特整环，也就是一个 $k$ 上有限型代数的局部化。设 $t\in A$ 并且假设
(1) $tA$ 只有一个极小 associated prime 理想 $\frakp$.
(2) $t$ 生成了 $A_\frakp$ 的极大理想。
(3) $A/\frakp$ 是正规的。
那么 $\frakp= tA$ 并且 $A$ 是正规的。
(1) $tA$ 只有一个极小 associated prime 理想 $\frakp$.
(2) $t$ 生成了 $A_\frakp$ 的极大理想。
(3) $A/\frakp$ 是正规的。
那么 $\frakp= tA$ 并且 $A$ 是正规的。
设 $X_{(t)}$ 是在 $\bbP_k^n$ 中的正规簇的代数族，parametrized by a variety $T$. 那么 $X_{(t)}$ 的 Hilbert 多项式和算术亏格 $p_a(X_{(t)})$ 都和 $t$ 无关。