设 $X_0$ 为 $k$ 上的概形，$C$ 为阿廷环 (Artin ring)。设 $X$ 为 $X_0$ 在 $C$ 上的变形。设 $C^\prime$ 为另一个阿廷环，并带有一个满射 $C^\prime \to C$。$X$ 在 $C^\prime$ 上的扩张 (extension) 是指 $X_0$ 在 $C^\prime$ 上的一个变形，连同一个闭浸入 (closed immersion) $X \hookrightarrow X^\prime$，该闭浸入诱导同构 $X \xrightarrow{\sim} X^\prime \times_{C^\prime} C$。
设 $\mathcal{C}$ 为局部阿廷 $k$-代数的范畴。$\mathcal{C}$ 中的一个小扩张是指一个满射 $A^\prime \to A$，其核 $I$ 是一个一维 $k$-向量空间。
阿廷局部 $k$-代数的一个扩张$$0 \to J \to A^\prime \to A \to 0$$被称为小扩张，如果 $\mathfrak{m}_{A^\prime} J = 0$。即 $J$ 上的 $A^\prime$-模结构下降为一个 $k$-向量空间，其中 $k$ 是剩余域。
设 $G$ 是一个群，$S$ 是一个集合。如果 $G\circlearrowright S$ 是自由传递 (freely transitive) 的，则称 $S$ 为一个 $G$-扭子。即 $\forall s\in S$，$g\mapsto g(s)$ 是一个从 $G$ 到 $S$ 的双射。
$S$ 是一个 $G$-扭子或 $\varnothing$。
一个环映射 $R \to A$ 被称为形式光滑的，如果对于每个实线交换图其中 $I\subseteq B$ 是一个平方零理想，存在一个虚线箭头使得图表交换。
仿射概形的一阶加厚 (first order thickening) $T = \mathop{Spec} A\subseteq T^\prime = \mathop{Spec} A^\prime$ 意味着存在$$0 \to I \to A^\prime \to A$$且 $I^2 = 0$。
设 $T = \mathop{Spec} A$，则 $T^\prime = \mathop{Spec} D= \mathop{Spec} A[t]/(t^2)$ 是仿射概形 $T$ 的一个一阶加厚。因为$$0 \to (t) \to A[t]/(t^2) \to A \to 0$$且 $(t)^2 = 0$。
设 $f:X \to S$ 为概形的态射。我们称 $f$ 是形式光滑的，如果给定任何实线交换图其中 $T\subseteq T^\prime$ 是 $S$ 上仿射概形的一阶加厚，存在一个虚线箭头使得图表交换。