我们定义对偶数 D 为
$$D:=k[t]/(t^2).$$
我们也记作 $k[\varepsilon]:=D$。
$\mathop{Spec} D = {(t)}$ 是一个单点。
令 $x \in D = k[t] /(t^2)$，即 $x = a+ bt$。考虑
$$(a+bt)(c+dt) = ac +(ad+bc) t.$$
$$(a+bt)(c+dt) = ac +(ad+bc) t.$$
如果 $a \neq 0$，令 $c = a^{-1},d =-a^{-1}bc$，则 $x^{-1} = c+ dt$。因此不可逆元素集合 $(t)$ 是 $D$ 的极大理想。$D$ 是维数为 $2$ 的 $k$ 线性空间。$(t)$ 是其维数为 $1$ 的子空间。因此 $(t)$ 只有平凡理想 $(0)$ 和 $(t)$。由于 $t^2 =0$，$(0)$ 不是素理想。$D$ 只有一个素理想 $(t)$。
令 $X$ 为 $k$ 上的概型，且令 $Y$ 为 $X$ 的闭子概型。我们定义 $X$ 中 $Y$ 在 $D$ 上的形变为闭子概型 $Y’ \subseteq X’:= X \times_k D: = X \times_{\mathop{Spec} k} \mathop{Spec} D$，满足：
并且 $Y = Y’ \times_D k : = Y’ \times_{\mathop{Spec} D} \mathop{Spec} k$。
令 $X$ 为域 $k$ 上的概型，令 $Y$ 为 $X$ 的闭子概型。那么 $X$ 中 $Y$ 在 $D$ 上的形变与 $H^0(Y,\mathcal{N}_{Y/X})$ 的元素自然一一对应，其中零元素对应于平凡形变。
令 $X$ 为 $k$ 上的概型，$\mathcal{L}$ 为 $X$ 上的可逆层。我们定义 $X\times_k D$ 上的 $\mathcal{L}’$ 使得 $\mathcal{L}’ \otimes \mathcal{O}_X \cong \mathcal{L}$。
令 $X$ 为 $k$ 上的概型，$\mathcal{L}$ 为 $X$ 上的可逆层。$X \times_k D$ 上满足 $\mathcal{L}’ \otimes \mathcal{O}_X \cong \mathcal{L}$ 的可逆层 $\mathcal{L}’$ 的同构类集合与群 $H^1(X,\mathcal{O}_X)$ 的元素自然一一对应。
令 $X$ 为 $k$ 上的概型，$\mathcal{F}$ 为 $X$ 上的凝聚层。我们定义 $\mathcal{F}$ 在 $D$ 上的形变为 $X’ := X \times_k D$ 上的一个凝聚层 $\mathcal{F}’$，$\mathcal{F}’$ 在 $D$ 上平坦，并配备一个同态 $\mathcal{F}’ \to \mathcal{F}$ 使得 $\mathcal{F}’\otimes_D k \to \mathcal{F}$ 为同构。
令 $X$ 为 $k$ 上的概型，$\mathcal{F}$ 为 $X$ 上的凝聚层。$\mathcal{F}$ 在 $D$ 上形变的等价类与群 $\mathop{Ext}_X^1(\mathcal{F},\mathcal{F})$ 的元素自然一一对应，其中零元素对应于平凡形变。
令 $X$ 为 $k$ 上的概型，$A$ 为 $k$ 上的 Artin 环，我们定义 $X$ 在 $A$ 上的形变为一个概型 $X’$ 满足
并且 $X\cong X’ \times_A k$。其中 “闭浸入” 对应原图中的 “ci” (closed immersion)。